 |
|
Основные определения.
В.Г. Карташевский
Основы теории массового
Обслуживания
Рекомендовано УМО по образованию в области телекоммуникаций в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки дипломированных специалистов 210400 (654400) - Телекоммуникации
|
|
УДК 621.391
К27
Карташевский В.Г.
Основы теории массового обслуживания : Учебное пособие для вузов.- М.: Радио и связь, 2006.- 86с.: 34ил.
ISBN 5-256-1808-6
Освещаются основы теории массового обслуживания, знание которых необходимо для современного представления о процессах распределения информации в телекоммуни-кационных и вычислительных сетях.
Рассматриваются потоки заявок на обслуживание, при условии, что структура потока носит случайный характер. Особое внимание уделено пуассоновскому потоку событий.
Проанализирована работа устройств массового обслуживания (в обозначении Кендалла) типа М/М/1, M/G/1, G/M/1 и их модификаций. Рассмотрены системы с относительным приоритетом обслуживания.
Для студентов вузов, обучающихся по специальностям направления «Телекоммуникации», может быть полезна специалистам в области связи.
ИБ № 3142
ISBN 5-256-1808-6
Издательская лицензия № 010164 от 29.01.97г.
Оглавление
Оглавление . . . . . . . 3
Введение . . . . . . . . 4
1. Потоки событий . . . . . . 7
1.1. Основные определения . . . . 7
1.2. Закон распределения времени, на который
падает точка . . . . . . 9
1.3. Закон распределения времени до наступления
очередного события . . . . . 14
1.4. Пуассоновский поток событий . . . 18
Анализ интервалов времени в пуассоновском
потоке . . . . . . . 21
1.5. Вывод формулы Пуассона через производящую
функцию . . . . . . . 24
1.6. Другие стационарные потоки Пальма . . 27
Регулярный поток . . . . . 27
Нормальный поток . . . . . 29
Поток Эрланга . . . . . 30
Предельная теорема для суммарного потока . 32
Предельная теорема для редеющего потока . 33
2. Анализ систем массового обслуживания . . 37
2.1. Классификация систем . . . . 37
2.2. Система обслуживания М/М/1 . . . 39
Вероятность блокировки . . . . 44
2.3. Формула Литтла . . . . . 48
2.4. Системы обслуживания, зависящие от состояний 52
Система M/M/2 . . . . . 54
Система М/М/¥ . . . . . 57 Система с нетерпеливыми клиентами . . 58
Система M/M/N/0 . . . . . 60
2.5. Система обслуживания M/G/1 . . . 62 Система M/D/1 . . . . . 66
2.6. Упрощенный вывод формулы для Е(n) системы
M/G/1 . . . . . . . 71
2.7. Система G/M/1 . . . . . 74
2.8. Системы обслуживания с относительными
приоритетами . . . . . . 79
Литература . . . . . . 86
Введение.
Ежедневно мы сталкиваемся с ситуациями, в которых появляется потребность в массовом обслуживании. Самым простым примером такой ситуации является очередь в магазине или на остановке автобуса, которая появляется из-за того, что у тех, кто занимается обслуживанием, нет возможности обслужить всех сразу. Не случайно, в публикациях на английском языке теорию массового обслуживания называют теорией очередей. Можно привести множество примеров, когда проявляются проблемы массового обслуживания - невозможность дозвониться по нужному номеру, скопление самолётов над аэродромом из-за отсутствия посадочных полос, обслуживание группы станков одним рабочим, ремонт судов при ограниченном числе доков, перевозка грузов автотранспортной конторой и т.д.
Примеры разные, но им присущи формальные признаки, которые позволяют описать их с помощью одного и того же математического аппарата. Главная задача, стоящая перед теорией – установить с необходимой точностью количественную связь между числом приборов обслуживания, характеристиками входящего потока требований (заявок) на обслуживание и качеством обслуживания. Под качеством обслуживания в теории массового обслуживания обычно понимается своевременность обслуживания поступивших в систему требований. Естественно, качество обслуживания надо уметь оценивать количественно.
Общая особенность всех задач теории массового обслуживания – случайный характер исследуемых явлений. Действительно, количество требований на обслуживание (например, число звонков, поступающих на телефонную станцию за фиксированный промежуток времени) – случайная величина. Временной интервал между поступлением требований – случайная величина. И, наконец, время обслуживания каждой заявки – также случайная величина. Поэтому решение всех задач массового обслуживания основывается на методах теории вероятностей.
Рассмотрим основные элементы системы массового обслуживания, которые представлены на рис. В.1.
Рис.В.1. Основные элементы системы массового обслуживания.
Входящий поток – совокупность требований на обслуживание, поступивших в систему за определенный интервал времени. Требование – это запрос на удовлетворение потребности. Требование часто отождествляется с его носителем. Если речь идет о потоке данных для обработки на ЭВМ, то требованиями могут считаться пакеты данных. В качестве требований в очереди в парикмахерской могут рассматриваться сами клиенты, в потоке больных в приёмном покое больницы – больные и в потоке приходящих на разгрузку в порт судов – сами суда.
Системы обслуживания определяются числом приборов и бывают одноканальные и многоканальные (одна или несколько колонок на бензозаправке и т.д.). Многоканальные системы могут состоять из разнотипных приборов.
Системы бывают полнодоступные и неполнодоступные (обслуживающие приборы или каналы доступны любому требованию – это полнодоступное включение). Полно-доступность и неполнодоступность иллюстрируется рис.В.2. Если использовать аналогии с телефонной связью, то, например, линия «а» доступна абонентам А и В, линия «с» доступна абонентам А и Д, а линия «е» доступна абонентам А, В, С, Д, т.е. всем абонентам.
Рис.В.2. Полнодоступное и неполнодоступное включение.
Важным фактором, определяющим работу системы массового обслуживания, является способ обслуживания. Различают способы - в порядке поступления (FIFO), в обратном порядке (LIFO), случайным образом, обслуживание по приоритетам и ряд других. Возможно объединение очередей, взаимодействие очередей и т.д.
Способ обслуживания тесно связан с поведением клиента – отказ становиться в очередь, использование клиентом априорной информации, уход из очереди до начала обслуживания (соглашение между клиентами) и т.д.
Обозначенный на рис.В.1 выходящий поток, как элемент системы массового обслуживания важен, так как сам может быть входящим потоком для другой системы. Характеристики выходящего потока зависят от характеристик входящего потока и времени обслуживания (если в парик-махерской два мастера с разной производительностью, то это будет влиять и на входящий и на выходящий поток). Анализ выходящего потока позволяет найти характеристики обслуживающих приборов.
В заключение подчеркнем еще раз, что под качеством обслуживания в теории массового обслуживания понимается не то, как хорошо выполнено обслуживание (бритьё, качество ремонта и др.), а как хорошо организовано обслуживание, насколько полно загружены приборы, не создаётся ли большая очередь, велик ли уход не обслуженных требований.
Потоки событий.
Основные определения.
Поток событий – последовательность событий, происхо-дящих одно за другим в случайные моменты времени. Графически поток можно отобразить так, как показано на рис.1.1, где на оси времени отмечено начало наблюдения 0 и моменты наступления событий 
, 
Рис.1.1. Графическое отображение потока событий