Вывод формулы Пуассона через производящую функцию.
Рассмотрим поток событий, обладающий свойствами ординарности и отсутствия последействия. Пусть - веро-ятность того, что за малый интервал времени , примы-кающий к моменту времени t, произойдет n событий. Очевидно , и будем считать, что выполняется условие нормировки . Опишем динамику изменения вероят-ности состояния потока за время . Для n=0 (отсутствие событий на интервале ) можно записать: . (1.38а) Множитель является в силу ординарности потока вероятностью того, что за интервал не произойдет ни одного события. Для любого согласно формуле полной вероятности аналогично (1.38а) запишем . (1.38б) Из последнего выражения легко получить для n 1. При слева получается производная , и в соответствие с этим выражения (1.38а) и (1.38б) можно переписать в дифференциальной форме. . (1.39) Это - дифференциально-разностные уравнения, которые удоб-но решать, используя производящую функцию. По определению производящая функция является Z – преобразованием распре-деления вероятностей и записывается в виде: , (1.40) где z – любое комплексное число, котороедает сходимость сум-мы в (1.40). Из (1.40) следует, что если продифференцировать n раз по z, то можно найти , положив z=0, т.е. . (1.41) При решении уравнений начало отсчета времени можно выбирать произвольно, даже после того, как произойдет некоторое число событий. Возможно, что при t=0 уже произошло i событий. Тогда: при , при . Таким образом . (1.42) Из определения также следует: , (1.43) и . (1.44) Умножим систему (1.39) на (первое уравнение на ) и про-суммируем по n, тогда получим: . Слева от знака равенства согласно (1.44) записана производная . Первое слагаемое справа очевидно имеет вид , а второе представляется как . В итоге получаем дифференциальное уравнение , которое, как известно, имеет решение: . Константа C определяется из начальных условий. Пусть при t=0 не было ни одного события. Тогда из (1.42) следует, что т.к. i=0. Поэтому С=1. Окончательно получаем: . (1.45) Теперь воспользуемся формулой (1.41) : , , . Последняя формула совпадает с распределением Пуассона, где t интерпретируется как интервал (0,t).
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|