 |
|
Знакопеременные ряды.
Вопросы к коллоквиуму № 3
I семестр
1. Понятие числового ряда. Остаток ряда как сумма некоторого ряда. Арифметические свойства сходящегося ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами. Признаки сравнения.
2. Признаки Даламбера, Коши, Раабе,интегральный признак Коши-Маклорена.
3. Абсолютная и условная сходимость рядов. Поведение частичных сумм абсолютно и условно сходящихся рядов. Признаки Лейбница, Абеля - Дирихле сходимости числовых рядов.
4. Теорема Коши о перестановках членов абсолютно сходящегося ряда. Теорема Римана о перестановках членов условно сходящегося ряда.
Числовые ряды.
Определение:
Возьмём последовательность 
и построим по ней ещё одну последовательность
Пара последовательностей ( , 
) называется числовым рядом и обозначается
– общий член ряда, n-й член ряда
– k-я частичная сумма ряда
Определение:
Число S называется суммой ряда:
Утверждение:
Пусть 
Тогда:
Доказательство:
Для конечных сумм верно тождество:
При предельном переходе k 
получаем:
Утверждение:
Доказательство:
Теорема (необходимый признак сходимости ряда):
Доказательство:
Примеры:
Утверждение:
Доказательство:
следующее равенство:
При предельном переходе по k получаем:
откуда и получаем утверждение, так как первое слагаемое в правой части – число. 
Теорема (критерий Коши сходимости числового ряда):
Доказательство:
Знакопостоянные ряды.
Определение:
Утверждение:
Доказательство:
Теорема (признак сравнения, признак Вейерштрасса):
Доказательство:
Следствие (признак сравнения в предельной форме):
Доказательство:
Примеры:
Теорема (признак Д’Аламбера):
Доказательство:
Следствие (признакД’Аламбера в предельной форме):
Доказательство:
Теорема (признак Коши):
Доказательство:
Следствие (признак Коши в предельной форме):
Доказательство:
Теорема (интегральный признак Коши):
Доказательство:
Примеры:
Теорема (признак Куммера):
Доказательство:
Теорема (признак Гаусса):
· 
· 
· 
· 
Доказательство:
Комментарий к признаку Куммера:
Знакопеременные ряды.
Определение:
Определение:
Теорема:
Доказательство:
Определение:
Теорема:
Доказательство:
Определение:
Утверждение:
Доказательство:
Определение:
Теорема:
Доказательство:
Замечание:
Теорема (признак Лейбница):
Доказательство:
Теорема (признаки Абеля и Дирихле):
Доказательство:
Признак Абеля:
Признак Дирихле:
Теорема:
Доказательство:
Теорема (Римана):
Доказательство:
