Здавалка
Главная | Обратная связь

А) Признаки сравнения



Даны два ряда с положительными членами

u1 + u2 + . . . + un +. . ., (7)

v1 + v2 + . . . + vn +. . . . (8)

Теорема 6. Если члены ряда (7) не больше соответствующих членов ряда (8) и ряд (8) сходится, то и ряд (7) сходится.

Дано: un £ vn (n = 1, 2, 3, . . .), пусть Sn = u1 + u2 + . . . + un,

sn = v1 + v2 + . . . + vn – частичные суммы рядов. Существует .

Доказать: ряд (7) сходится.

Доказательство.

Так как un £ vn, то Sn £ sn. Тем более Sn < s. Таким образом, Sn - ограниченная величина и монотонно возрастающая при возрастании n. Следовательно, Sn имеет предел , т.е ряд (7) сходится.

Теорема 7. Если члены ряда (7) не меньше соответствующих членов ряда (8) и ряд (8) расходится, то ряд (7) тоже расходится.

Доказательство.

Sn ³ sn. Так как sn ® ¥ , то и Sn ® ¥, т.е. ряд (7) расходится.

Примеры. 1) , для сравнения выберем ряд

, т.е. . Этот ряд расходится, причем un > vn, следовательно, ряд – тоже расходится.

2) . Выберем ряд с общим членом . Ряд – сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, следовательно, и ряд – сходится, т. к. un £ vn.

Теорема 8. Если для рядов (7) и (8) отношение стремится к некоторому конечному пределу = r > 0, то ряды (7) и (8) сходятся или расходятся одновременно.

Замечания.

1. Доказанные признаки справедливы только для рядов с положительными членами, у которых некоторые элементы могут быть равны нулю.

2. Доказанные признаки справедливы, если неравенства начинают выполняться, начиная лишь с n ³ N, а не для всех n = 1, 2, 3,… .

Б) Признак Даламбера

(Даламбер Жан Батист ле Ронд 1717-1783)

Теорема 9. Если в ряде с положительными членами u1 + u2 + . . .+ un + . . .

отношение последующего члена к предыдущему имеет предел , т.е.

, то:

1) ряд сходится при < 1;

2) ряд расходится при > 1;

3) при = 1 ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда теорема не дает (без доказательства).

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение. ; ,

. Ряд сходится.

В) Признак Коши

(Коши Август Луис 1789-1857)

Сравнение рядов с прогрессиями приводит еще к одному признаку сходимости, принадлежащему Коши.

Теорема 10. Если для ряда с положительными членами существует

, то:

1) ряд сходится при < 1;

2) ряд расходится при > 1;

3) при = 1 ответа на вопрос о сходимости остается нерешенным.

Пример . Исследовать сходимость ряда .

Решение.Для этого ряда по признаку Коши имеем

,

и поэтому заданный ряд сходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение. Для него .

Поэтому вопрос о сходимости данного ряда признаком Коши не решается. Ясно, что этот ряд расходится, так как общий член его при n ® ¥ не стремится к нулю: , при n ® ¥.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение. Данный ряд как обобщенный гармонический сходится ( так как

р = 3 > 1). В то же время по признаку Коши:

= 1.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.