А) Признаки сравнения ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Даны два ряда с положительными членами u1 + u2 + . . . + un +. . ., (7) v1 + v2 + . . . + vn +. . . . (8) Теорема 6. Если члены ряда (7) не больше соответствующих членов ряда (8) и ряд (8) сходится, то и ряд (7) сходится. Дано: un £ vn (n = 1, 2, 3, . . .), пусть Sn = u1 + u2 + . . . + un, sn = v1 + v2 + . . . + vn – частичные суммы рядов. Существует . Доказать: ряд (7) сходится. Доказательство. Так как un £ vn, то Sn £ sn. Тем более Sn < s. Таким образом, Sn - ограниченная величина и монотонно возрастающая при возрастании n. Следовательно, Sn имеет предел , т.е ряд (7) сходится. Теорема 7. Если члены ряда (7) не меньше соответствующих членов ряда (8) и ряд (8) расходится, то ряд (7) тоже расходится. Доказательство. Sn ³ sn. Так как sn ® ¥ , то и Sn ® ¥, т.е. ряд (7) расходится. Примеры. 1) , для сравнения выберем ряд , т.е. . Этот ряд расходится, причем un > vn, следовательно, ряд – тоже расходится. 2) . Выберем ряд с общим членом . Ряд – сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, следовательно, и ряд – сходится, т. к. un £ vn. Теорема 8. Если для рядов (7) и (8) отношение стремится к некоторому конечному пределу = r > 0, то ряды (7) и (8) сходятся или расходятся одновременно. Замечания. 1. Доказанные признаки справедливы только для рядов с положительными членами, у которых некоторые элементы могут быть равны нулю. 2. Доказанные признаки справедливы, если неравенства начинают выполняться, начиная лишь с n ³ N, а не для всех n = 1, 2, 3,… . Б) Признак Даламбера (Даламбер Жан Батист ле Ронд 1717-1783) Теорема 9. Если в ряде с положительными членами u1 + u2 + . . .+ un + . . . отношение последующего члена к предыдущему имеет предел , т.е. , то: 1) ряд сходится при < 1; 2) ряд расходится при > 1; 3) при = 1 ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда теорема не дает (без доказательства). Пример. Исследовать сходимость ряда . Решение. ; , . Ряд сходится. В) Признак Коши (Коши Август Луис 1789-1857) Сравнение рядов с прогрессиями приводит еще к одному признаку сходимости, принадлежащему Коши. Теорема 10. Если для ряда с положительными членами существует , то: 1) ряд сходится при < 1; 2) ряд расходится при > 1; 3) при = 1 ответа на вопрос о сходимости остается нерешенным. Пример . Исследовать сходимость ряда . Решение.Для этого ряда по признаку Коши имеем , и поэтому заданный ряд сходится. Пример. Исследовать сходимость ряда Решение. Для него . Поэтому вопрос о сходимости данного ряда признаком Коши не решается. Ясно, что этот ряд расходится, так как общий член его при n ® ¥ не стремится к нулю: , при n ® ¥. Пример. Исследовать сходимость ряда Решение. Данный ряд как обобщенный гармонический сходится ( так как р = 3 > 1). В то же время по признаку Коши: = 1. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|