Здавалка
Главная | Обратная связь

Знакочередующиеся ряды



 

Ряд называется знакочередующимся, если любые два его соседних члена имеют разные знаки, т.е. ряд вида:

a1 - a2 + a3 - a4 + ... + an (-1)n + ... (2)

где a1, a2... - положительные числа.

Теорема Лейбница. Если модуль n-го члена знакочередующегося ряда с возрастанием n монотонно убывает и стремится к нулю, то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Ряд (2) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей членов данного ряда.

Ряд (2) называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд из модулей расходится. Исследование сходимости знакочередующихся рядов удобно начинать с исследований абсолютной сходимости, так как это часто быстрее приводит к цели, чем применение признака Лейбница с последующим исследованием абсолютной сходимости ряда.

 

Пример 7. Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды.

а)

Составим ряд из модулей членов данного ряда . Он сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем = 2 > 1. Следовательно сходится и данный ряд, причем абсолютно.

б)

Ряд составленный из модулей членов данного ряда расходится по признаку Даламбера, т.к.: = 5.

Условия теоремы Лейбница для данного знакочередующегося ряда не выполняются, т.е. с возрастанием n модуль n-го члена ряда не стремится к нулю ( = ). Отсюда следует, что данный знакочередующийся ряд расходящийся.

 

Степенные ряды

 

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

= a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 +... или

= a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... , если x0 = 0

Областью сходимости всякого степенного ряда является интервал числовой оси, симметричный относительно точки x = x0, который может быть закрытым, открытым или полуоткрытым.

Половина длины интервала сходимости называется радиусом сходимости степенного ряда R.

В частных случаях радиус сходимости ряда R может быть равен нулю или бесконечности. Если R=0, то степенной ряд сходится лишь при x = x0, если же R = , то ряд сходится на всей числовой оси Ox.

Для определения области сходимости степенного ряда, обычно вначале используется признак Даламбера, а затем те значения x, для которых этот признак не решает вопроса о сходимости ряда, исследуются особо, посредством других признаков сходимости рядов.

Пример 8. Определить интервал сходимости степенного ряда.

а)

По известному члену ряда un , заменяя в нем n через n+1, находим следующий за ним член un+1

un = , =

Далее, используя признак Даламбера, ищем предел

.

И определяем, при каких значениях x этот предел будет меньше единицы, т.е. решаем неравенство

< 1; |x| < 5; -5<x<5

Согласно признаку Даламбера, при любом значении x из найденного интервала данный ряд сходится, а при |x| > 5 расходится.

Граничные точки x = этого интервала, для которых и признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда, исследуем особо. При x=-5 получим числовой знакочередующейся ряд , который сходится согласно признаку Лейбница.

При x=5 получим числовой ряд с положительными членами ,который расходится (по интегральному признаку сходимости).

Следовательно, интервалом сходимости ряда является полуоткрытый интервал или -5Јx<5 или

б)

Здесь un = , un+1 =

|x+4|2 < 1 |x+4| < 1 -1< x+4 < 1

-5< x < -3

Границы найденного интервала исследуем особо.

При x=-5 получим ряд с положительным членами

Исследуя его по интегральному признаку , выясняем, что он сходится.

При x=-3 получаем такой же ряд, следовательно интервал сходимости есть .

 

в)

un = (3x-4)n-1 , un+1 = (3x-4)n

|3x-4|<1; -1<3x-4<1; 3<3x<5;

Исследуем концы интервала:

x=1., 1-1+1-1+...,

x= , 1+1+1+...

Оба ряда расходятся, т.к. не выполняется необходимое условие сходимости un = 0. Следовательно, интервал сходимости 1<x< .

г)

,

Следовательно, интервал сходимости есть , т.е. вся числовая ось

 

д)

>1 при любом x, кроме x=0.

Ряд сходится при x=0.

е)

 

Исследуем ряд на границах интервала:

 

 

При больших значениях n ,можно применить формулу Стирлинга

.

Получим

 

ряд расходится, как обобщенный гармонический ряд с показателем

Ряд сходится условно, т. к. .

Следовательно интервал сходимости

 

Отметим следующее свойство степенных рядов: ряды, полученные дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.

Таким образом, если , то где –R<x-a<R.

Операцию почленного дифференцирования и интегрирования можно производить над степенным рядом сколько угодно раз. Следовательно, сумма степенного ряда внутри его интервала сходимости является бесконечно дифференцируемой функцией.

 

Пример 9. Найти сумму ряда.

.
Найдем интервал сходимости ряда:

,

<1

Pяд сходится при -2<x<2. На границах интервала ряд расходится.

Проинтегрируем почленно дважды искомый ряд, обозначив за S(x) его сумму.

, .

В интервале -2<x<2, получим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Так как , где то

Продифференцировав почленно дважды эту сумму, получим

 

Итак, Этот ряд сходится при -2<x<2.

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.