Знакочередующиеся ряды
Ряд называется знакочередующимся, если любые два его соседних члена имеют разные знаки, т.е. ряд вида: a1 - a2 + a3 - a4 + ... + an (-1)n + ... (2) где a1, a2... - положительные числа. Теорема Лейбница. Если модуль n-го члена знакочередующегося ряда с возрастанием n монотонно убывает и стремится к нулю, то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена. Ряд (2) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей членов данного ряда. Ряд (2) называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд из модулей расходится. Исследование сходимости знакочередующихся рядов удобно начинать с исследований абсолютной сходимости, так как это часто быстрее приводит к цели, чем применение признака Лейбница с последующим исследованием абсолютной сходимости ряда.
Пример 7. Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды. а) Составим ряд из модулей членов данного ряда . Он сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем = 2 > 1. Следовательно сходится и данный ряд, причем абсолютно. б) Ряд составленный из модулей членов данного ряда расходится по признаку Даламбера, т.к.: = 5. Условия теоремы Лейбница для данного знакочередующегося ряда не выполняются, т.е. с возрастанием n модуль n-го члена ряда не стремится к нулю ( = ). Отсюда следует, что данный знакочередующийся ряд расходящийся.
Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд вида = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 +... или = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... , если x0 = 0 Областью сходимости всякого степенного ряда является интервал числовой оси, симметричный относительно точки x = x0, который может быть закрытым, открытым или полуоткрытым. Половина длины интервала сходимости называется радиусом сходимости степенного ряда R. В частных случаях радиус сходимости ряда R может быть равен нулю или бесконечности. Если R=0, то степенной ряд сходится лишь при x = x0, если же R = , то ряд сходится на всей числовой оси Ox. Для определения области сходимости степенного ряда, обычно вначале используется признак Даламбера, а затем те значения x, для которых этот признак не решает вопроса о сходимости ряда, исследуются особо, посредством других признаков сходимости рядов. Пример 8. Определить интервал сходимости степенного ряда. а) По известному члену ряда un , заменяя в нем n через n+1, находим следующий за ним член un+1 un = , = Далее, используя признак Даламбера, ищем предел . И определяем, при каких значениях x этот предел будет меньше единицы, т.е. решаем неравенство < 1; |x| < 5; -5<x<5 Согласно признаку Даламбера, при любом значении x из найденного интервала данный ряд сходится, а при |x| > 5 расходится. Граничные точки x = этого интервала, для которых и признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда, исследуем особо. При x=-5 получим числовой знакочередующейся ряд , который сходится согласно признаку Лейбница. При x=5 получим числовой ряд с положительными членами ,который расходится (по интегральному признаку сходимости). Следовательно, интервалом сходимости ряда является полуоткрытый интервал или -5Јx<5 или б) Здесь un = , un+1 = |x+4|2 < 1 |x+4| < 1 -1< x+4 < 1 -5< x < -3 Границы найденного интервала исследуем особо. При x=-5 получим ряд с положительным членами Исследуя его по интегральному признаку , выясняем, что он сходится. При x=-3 получаем такой же ряд, следовательно интервал сходимости есть .
в) un = (3x-4)n-1 , un+1 = (3x-4)n
|3x-4|<1; -1<3x-4<1; 3<3x<5; Исследуем концы интервала: x=1., 1-1+1-1+..., x= , 1+1+1+... Оба ряда расходятся, т.к. не выполняется необходимое условие сходимости un = 0. Следовательно, интервал сходимости 1<x< . г) , Следовательно, интервал сходимости есть , т.е. вся числовая ось
д)
>1 при любом x, кроме x=0. Ряд сходится при x=0. е)
Исследуем ряд на границах интервала:
При больших значениях n ,можно применить формулу Стирлинга . Получим
ряд расходится, как обобщенный гармонический ряд с показателем
Ряд сходится условно, т. к. . Следовательно интервал сходимости
Отметим следующее свойство степенных рядов: ряды, полученные дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда. Таким образом, если , то где –R<x-a<R. Операцию почленного дифференцирования и интегрирования можно производить над степенным рядом сколько угодно раз. Следовательно, сумма степенного ряда внутри его интервала сходимости является бесконечно дифференцируемой функцией.
Пример 9. Найти сумму ряда. . , <1 Pяд сходится при -2<x<2. На границах интервала ряд расходится. Проинтегрируем почленно дважды искомый ряд, обозначив за S(x) его сумму. , . В интервале -2<x<2, получим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Так как , где то Продифференцировав почленно дважды эту сумму, получим
Итак, Этот ряд сходится при -2<x<2.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|