 |
|
Приложения степенных рядов
Рядом Тейлора для функции f(x) в окрестности точки 
называется степенной ряд относительно двучлена (x- ) вида
При =0 ряд Тейлора есть степенной ряд относительно переменной х:
который называется рядом Маклорена.
Ряд Тейлора можно записать для любой функции f(x), которая в окрестности точки 
имеет производные любого порядка. Однако этот ряд представляет данную функцию f(x) только тогда, когда остаточный член ряда будет стремиться к нулю.
При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями элементарных функций:
Пример10. Разложить функцию в ряд Маклорена, используя разложения элементарных функций.
а) 
= 
Ряд сходится к данной функции при всех значениях х.
б) sin2x
sin2x= 
Ряд сходится при всех значениях х.
в) ln(3+x)
Преобразуем аргумент функции.
ln(3+x)= 
.
Воспользуемся разложением функции ln(1+t), полагая t=x/3
ln(3+x)=ln3+ 
Так как разложение ln(1+t) имеет место при |t|<1, то данное разложение будет иметь место при |x/3|<1, то есть |x|<3
Пример 11. Пользуясь соответствующими рядами, вычислить с точностью до 0,0001.
а) 
= 
Применим биномиальный ряд, полагая х=1/16, m=1/4:
Чтобы определить, сколько взять первых членов этого знакочередующегося ряда для вычисления с точностью до 0,0001, вычислим
=1; 
Ошибка искомого приближенного значения корня будет меньше 0,0001.Значит
2(1+0,01562-0,00037) 
2,0305.
б) 
Так как
,
то 
=
= 
Пятый член этого знакочередующегося ряда меньше 0,0001. Поэтому для вычисления искомого приближенного значения достаточно взять сумму первых четырех первых членов ряда, т.е. 
ИНТЕГРИРОВАНИЕ дифференциальных уравнений С
ПОМОЩЬЮ рядов
Пусть требуется найти решение уравнения
y' = f(x, y), (1)
удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0. Будем искать решение уравнения в виде:
y= y(x0)+ 
(2)
Свободный член y(x0) этого разложения известен: он равен y0. Подставив в (1) значение x=x0, найдем и y'(x0)= f(x0, y0).
Далее, дифференцируя (1), получаем y''=fx'(x, y)+fy'(x, y)y', (3)
откуда находим y''(x0).
Аналогично этому, дифференцируя (3) найдем y'''(x0) и т.д.
Пример 12. Представить решение уравнения в виде первых шести членов ряда.
y'=x-y2, (4)
удовлетворяющее начальному условию y(1)=1.
Последовательно дифференцируя равенство (4), находим
y''=1- y' 2y,
y'''=-2(y')2-2yy'',
y(4)=-6y'y''-2yy'',
y(5)=-6(y'')2-8y'y'''-2yy(4),
y(6)= -20y''y'''-10y'y(4)-2yy(5),
Отсюда из (4) получаем
y'(1)=0, y''(1)=1, y'''(1)=-2, y(4)=4, y(5)=-14, y(6)=68.
Значит,
y=1+ 
Ряды Фурье.
Рядом Фурье для функции f(x) в интервале 
называется тригонометрический ряд вида:
+ 
,
если его коэффициенты an и bn вычисляются по формулам Фурье:
an = 
dx, n = 0,1,2, ..., а0 = 
bn = 
dx, n = 1,2, ...
Если в интервале функция f(x) имеет конечное число точек разрыва первого рода (или непрерывна) и конечное число точек экстремума (или не имеет их вовсе), то ее ряд Фурье сходится, т.е. имеет сумму S(x)во всех точках этого интервала.
При этом:
а) в точках непрерывности функции f(x) он сходится к самой функции, S(x)=f(x);
б) в каждой точке разрыва функции - к полусумме односторонних пределов функции слева и справа.
Если функция четная, т.е. f(x)=f(-x), все коэффициенты bn = 0 и ряд имеет вид:
f(x)= + 
,
= 
cos 
dx, n=0,1,2, ...
Если функция нечетная, т.е. f(x)=-f(-x), все коэффициенты = 0, и ряд имеет вид:
f(x) = 
, 
= 
dx, n=1,2,3, ...
Замечания
1. Функция, заданная в интервале [0; 
], может быть разложена в зависимости от требований либо только в ряд косинусов, либо только в ряд синусов. Для этого она должна быть продолжена в интервале [- ; 0] либо как четная, либо как нечетная.
2. Если функция f(x) задана несколькими различными формулами на разных частях интервала 
, то при вычислении интегралов для коэффициентов ряда, следует разбить интервал интегрирования точками, в которых меняется аналитическое выражение функции, на части и затем вычислять указанные интегралы как сумму интегралов по составляющим частям.
Пример 13. Разложить в ряд Фурье данную функцию в указанном интервале.
а) f(x) = 
, 0<x<4, T=4.
Поскольку интервал (0,4) не симметричен относительно нуля и имеет длину равную 4, то формулы для коэффициентов Фурье принимают вид:
= 
= 
cos 
dx,
= sin dx.
Вычислим интегралы.
= 
= 
=2
= 
dx = 
x = u, du = dx, dv = cos dx, V = 
sin 
= 
= 
= 0
= 
sin dx = x = u, du = dx, dv = sin dx, V = 
cos = 
= 
=
следовательно,
= 1 + 
= 
Это разложение справедливо, т.е. полученный ряд сходится к данной функции во всех точках ее области определения 0<x<4. В граничных точках x=0 и x=4 сумма ряда равна 1, в этих точках все члены ряда, кроме первого, обращаются в 0. График суммы ряда изображен на рис.1
Рис. 1
б) f(x)=xsin(x), 0<x<p в ряд по косинусам.
Функция, разлагаемая в ряд по косинусам, должна быть четная. Следовательно, нужно построить ее четное продолжение в интервале (-p,0) . Тогда bn = 0.
= 
sin xdx = 
х = u, du = dx, sin xdx = dV, V = 
= 
+ 
= 
= 2
= 
= 
= 
=
= 
= 
= 
= 
= 
, 
При n=1
= 
= 
= 
= 
Следовательно, 
= 
. Это разложение данной периодической и всюду непрерывной функции справедливо при любом значении x, т.е. полученный ряд Фурье сходится к данной функции на всей числовой оси.
Варианты индивидуальных заданий
1. Найти 
и 
члены ряда
| 1.1. | 3+ 
|
| 1.2 | 
|
| 1.3 | 
|
| 1.4 | 
|
| 1.5 | 
|
| 1.6 | 
|
| 1.7 | 
|
| 1.8 | 
|
| 1.9 | 
|
| 1.10 | 
|
| 1.11 | 
|
| 1.12 |  +…
|
| 1.13 | 
|
| 1.14 | 
|
| 1.15 |  
|
| 1.16 |  +…
|
| 1.17 | 
|
| 1.18 | 
|
| 1.19 | 
|
| 1.20 | 
|
| 1.21 | 
|
| 1.22 | 
|
| 1.23 | 
|
| 1.24 | 
|
| 1.25 |  …
|
| 1.26 |  …
|
| 1.27 | 
|
| 1.28 | 
|
| 1.29 | 
|
| 1.30 |  +…
|
2. Найти сумму ряда
| 2.1 | 
| 2.16 | 
|
| 2.2 | 
| 2.17 | 
|
| 2.3 | 
| 2.18 | 
|
| 2.4 | 
| 2.19 | 
|
| 2.5 | 
| 2.20 | 
|
| 2.6 | 
| 2.21 | 
|
| 2.7 | 
| 2.22 | 
|
| 2.8 | 
| 2.23 | 
|
| 2.9 | 
| 2.24 | 
|
| 2.10 | 
| 2.25 | 
|
| 2.11 |  
| 2.26 | 
|
| 2.12 | 
| 2.27 | 
|
| 2.13 | 
| 2.28 |
|
| 2.14 | 
| 2.29 | 
|
| 2.15 | 
| 2.30 | 
|
3. Можно ли решить вопрос о сходимости ряда с помощью необходимого признака?
| 3.1 | a) | 
| b) | 
|
| 3.2 | a) | 
| b) | 
|
| 3.3 | a) | 
| b) | 
|
| 3.4 | a) | 
| b) | 
|
| 3.5 | a) | 
| b) | 
|
| 3.6 | a) | 
| b) | 
|
| 3.7 | a) | 
| b) | 
|
| 3.8 | a) | 
| b) | 
|
| 3.9 | a) | 
| b) | 
|
| 3.10 | a) | 
| b) | 
|
| 3.11 | a) | 
| b) | 
|
| 3.12 | a) | 
| b) | 
|
| 3.13 | a) | 
| b) | 
|
| 3.14 | a) | 
| b) | 
|
| 3.15 | a) |
| b) | 
|
| 3.16 | a) | 
| b) | 
|
| 3.17 | a) |
| b) | 
|
| 3.18 | a) | 
| b) | 
|
| 3.19 | a) | 
| b) | 
|
| 3.20 | a) | 
| b) | 
|
| 3.21 | a) | 
| b) | 
|
| 3.22 | a) | 
| b) | 
|
| 3.23 | a) | 
| b) | 
|
| 3.24 | a) | 
| b) | 
|
| 3.25 | a) | 
| b) | 
|
| 3.26 | a) | 
| b) | 
|
| 3.27 | a) | 
| b) | 
|
| 3.28 | a) | 
| b) | 
|
| 3.29 | a) | 
| b) | 
|
| 3.30 | a) | 
| b) | 
|
4. Исследовать ряды на сходимость
| 4.1 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.2 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.3 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.4 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.5 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.6 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.7 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.8 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.9 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.10 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.11 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) |
| г) | 
|
| 4.12 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.13 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.14 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.15 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.16 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.17 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.18 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.19 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.20 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.21 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.22 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.23 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.24 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.25 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.26 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.27 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.28 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.29 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
| 4.30 | |||||||
| a) | 
| б) | 
| в) | 
| г) | 
|
5.Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно
| 5.1 | a) 
| b) 
| 5.16 | a) 
| b) 
|
| 5.2 | a) 
| b) 
| 5.17 | a) 
| b) 
|
| 5.3 | a) 
| b) 
| 5.18 | a) 
| b) 
|
| 5.4 | a) 
| b) 
| 5.19 | a) 
| b) 
|
| 5.5 | a) 
| b) 
| 5.20 | a) 
| b) 
|
| 5.6 | a) 
| b)
| 5.21 | a) 
| b) 
|
| 5.7 | a) 
| b) 
| 5.22 | a) 
| b) 
|
| 5.8 | a) 
| b)
| 5.23 | a) 
| b) 
|
| 5.9 | a) 
| b) 
| 5.24 | a) 
| b) 
|
| 5.10 | a) 
| b) 
| 5.25 | a) 
| b) 
|
| 5.11 | a) 
| b) 
| 5.26 | a) 
| b)
|
| 5.12 | a) 
| b) 
| 5.27 | a) 
| b) 
|
| 5.13 | a) 
| b) 
| 5.28 | a) 
| b) 
|
| 5.14 | a) 
| b) 
| 5.29 | a) 
| b) 
|
| 5.15 | a) 
| b) 
| 5.30 | a) 
| b) 
|
6. Определить интервал сходимости ряда и исследовать сходимость на концах интервала
| 6.1 | a) 
| б) 
| в) 
|
| 6.2 | a) 
| б) 
| в) 
|
| 6.3 | a) 
| б) 
| в) 
|
| 6.4 | a) 
| б) 
| в) 
|
| 6.5 | a) 
| б) 
| в) 
|
| 6.6 | a) 
| б) 
| в) 
|
| 6.7 | a) 
| б) 
| в) 
|
| 6.8 | a) 
| б) 
| в) 
|
| 6.9 | a) 
| б) 
| в) 
|
| 6.10 | a) 
| б) 
| в) 
|
| 6.11 | a) 
| б) 
| в) 
|
| 6.12 | a) 
| б) 
| в) 
|
| 6.13 | a) 
| б) 
| в) 
|
| 6.14 | a) 
| б) 
| в) 
|
| 6.15 | a) 
| б) 
| в) 
|
| 6.16 | a) 
| б) 
| в) 
|
| 6.17 | a) 
| б) 
| в) 
|
| 6.18 | a) 
| б) 
| в) 
|
| 6.19 | a) 
| б) 
| в) 
|
| 6.20 | a) 
| б) 
| в) 
|
| 6.21 | a) 
| б) 
| в) 
|
| 6.22 | a) 
| б)
| в) 
|
| 6.23 | a)
| б) 
| в) ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|