Ряды Тейлора и Маклорена
Вычислить приближенно значения функций, определенных интегралов, пределов и пр., а также решить приближенно дифференциальное уравнение и мн. др. можно при помощи разложения дифференцируемой функции в степенной ряд. Понятие о ряде Тейлора Всякая функция при соблюдении определенных условий в интервале, содержащим точку М0, может быть представлена в нем в виде степенного ряда, и этот ряд будет ее рядом Тейлора. Определение.Рядом Тейлора функции называется степенной ряд вида
Рядом Маклорена функции называется ряд
Ряды Тейлора и Маклорена есть разложение функции в ряд по степеням и соответственно, или представление функции в окрестности точек x0 или x степенным рядом. Коэффициенты рядов Тейлора и Маклорена вычисляются через значения производных функции всех порядков в точках и соответственно. 3.2. Разложения в ряд Маклорена
Ряды с 1-го по 5-ый сходятся для , а ряды с 6-го по 10-ый для . Примеры.
1. Определить, сходится ли числовой ряд с заданным (под номером N1) общим членом , если: 1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12)
13) . Решения. 1) расходится, т.к.(выполнен необходимый признак сходимости). 2) – расходится, т.к. не существует (то есть точно, значит, выполнен необходимый признак сходимости). 3) – расходится, т.к. . 4) , ряд может сходиться, но может и расходиться. Необходимый признак сходимости ответа не дал. Пробуем применить какой-либо из достаточных признаков, например, признак сравнения. Для этого сравним наш ряд с рядом , про который уже известно, что он расходится (это гармонический ряд, см. таблицу «эталонные ряды»). Очевидно, что при выполняется следующее соотношение . Меньший ряд расходится, следовательно, расходится и больший ряд . 5) – ряд сходится, т.к. при , а ряд – сходится как обобщенный гармонический с показателем . 6) – ряд сходится, т.к. , а ряд – сходится как обобщенный гармонический с показателем . 7) – ряд сходится, т.к. при , а ряд – сходится как геометрический при . 8) – ряд расходится, т.к. члены его для достаточно больших n эквивалентны членам обобщенного гармонического ряда: ~ а ряд – расходится (показатель ). Применили 2-ой признак сравнения (предельный). Итак: ~ = – расходится как обобщенный гармонический с показателем . 9) . Здесь уместно применить признак Даламбера. , .
= = = – ряд расходится. 10) . По признаку Даламбера = = = = = = = =(по 2-му замечательному пределу)= = = = исходный ряд сходится.
11) . Применяя признак Даламбера, можно предварительно упростить выражение для общего члена ряда, оставля только главные члены. В знаменателе оставим 2n, т.к. показательная функция «растет быстрее», чем линейная функция . В числителе оставим . Получаем: ~ Найдем = = = – ряд сходится.
12) . По признаку Коши (радикальному): = = = ряд расходится.
13) . Применим интегральный признак Коши. Для этого найдем несобственный интеграл. Для этого сначала найдем соответствующий неопределенный интеграл: = = = = – интеграл и вместе с ним исходный ряд расходятся.
2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд с заданным (под номером N2) общим членом , если: 1) ; 2) ; 3) .
Решения. 1) . Проверяем выполнение признака Лейбница: Члены ряда по модулю образуют убывающую последовательность: Но предел = = ряд – расходится. 2) . 1. Проверяем выполнение признака Лейбница: Члены ряда по модулю образуют убывающую последовательность: вычислим приближенно на калькуляторе: , , , … и т.д. Несмотря на то, что в начале ряда его члены не образуют убывающую последовательность, следует иметь в виду, что «хвост» ряда все равно будет состоять из таких членов, которые все-таки образуют убывающую последовательность. Это видно из формулы общего члена, взятого по модулю: ~~ . Из двух функций и «быстрее растет» . Значит, при увеличении знаменатель дроби всегда больше числителя, следовательно, сама дробь уменьшается. Находим предел: = = = = ряд сходится по признаку Лейбница. 2. Составляем ряд из абсолютных величин чденов данного ряда и исследуем его на сходимость. . Используем признак Даламбера: = = = = – ряд сходится. 3.Вывод: исходный ряд – сходится абсолютно.
3) . 1. Проверяем выполнение признака Лейбница: Члены ряда по модулю образуют бесконечно убывающую последовательность: При увеличении числитель дроби становится все больше, значит, сама дробь – все меньше. Находим предел: = = = ряд сходится по признаку Лейбница. 2. Проверим сходимость соответствующего знакоположительного ряда. ~– ряд расходится как обобщенный гармонический с показателем . 3. Вывод: исходный ряд – сходится условно.
3. Найти радиус сходимости степенного ряда с заданным (под номером N3) коэффициентом . Проверить сходимость (абсолютную и условную) этого ряда в концах интервала сходимости, если: 1) ; 2) ; 3) .
Решения. 1) . 1. Используем признак Даламбера. Составим предел отношения последующего члена ряда к предыдущему и потребуем, чтобы он был по модулю меньше единицы. . Теперь потребуем, чтобы откуда . Получаем интервал значений х, в котором ряд сходится . 2. Проверяем сходимость ряда на концах интервала. Для этого подставляем значения в исходный ряд, получаем числовой ряд и исследуем его сходимость одним из признаков сходимости числовых рядов. А) При имеем ряд = . Данный ряд сходится как обобщенный гармонический с показателем . Б) При имеем ряд = = . Данный ряд сходится абсолютно, т. к. сходится соответствующий знакоположительный ряд. 3. Вывод: оба конца интервала принадлежат интервалу сходимости, т.е. ряд сходится в закрытом интервале .
2) . Воспользуемся признаком Даламбера. . Предел равен нулю для любых значений х, поэтому ряд сходится на всей числовой прямой .
3) . По признаку Даламбера = =
= = . Ряд расходится на всей числовой оси, кроме одной точки .
4. Разложить данную (под номером N4) функцию в ряд Тейлора в заданной точке х0 и определить радиус сходимости полученного ряда, если: 1) , х0=1; 2) , х0=-3; 3) , х0=4; 4) , х0=3.
Решения. 1) , х0=1. 1.Так как х0=1, то разложение будет по степеням (х-1), поэтому преобразуем исходную функцию следующим образом: = = . Теперь обратимся к таблице «Разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций». В стандартном разложении функции заменяем х на . Получаем: Полученный ряд умножаем на : = = .
2. Определим радиус сходимости полученного ряда. Известно, что ряд (это ряд для функции ) сходится при . В нашем случае: . Откуда получаем – интервал сходимости, то есть ряд сходится на всей числовой оси.
2) , х0=-3. 1. Подготовим функцию к разложению по степеням (х+3) и воспользуемся уже «готовым» разложением в ряд Маклорена функции . . 2. Определим радиус сходимости полученного ряда. Известно, что ряд (это ряд для функции ) сходится при . В нашем случае , тогда . Решая, получаем: . Итак, интервал сходимости: . Радиус сходимости равен 1.
3) , х0=4. 1. = = = . Используем биномиальный ряд. В нашем случае . Получаем: =
2. Определим радиус сходимости полученного ряда. Как известно, биномиальный ряд сходится при . Получаем: . Итак, интервал сходимости: . Радиус сходимости равен 4.
4) , х0=3. 1. Преобразуем исходную фнкцию следующим образом: . Теперь в разложении функции заменим х на и к результату прибавим . Получаем:
= .
2. Определим радиус сходимости полученного ряда. Ряд для функции сходится при . Значит, наш ряд сходится при . Решая это неравенство, получаем интервал сходимости: . Радиус сходимости равен 3.
5. Вычислить приближенное значение (заданной под номером N5) функции в данной точке х, используя разложение этой функции в ряд Маклорена и, отбросив все слагаемые, начиная с х6. Результат округлить до 10-3 и сравнить с точным значением функции, вычисленным непосредственно или при помощи таблиц, если: 1) , ; 2) , .
Решения. 1) , . 1. Разложим эту функцию в ряд Маклорена (то есть в ряд Тейлора в точке х0=0). Будем использовать биномиальный ряд, в который разложена функция . Преобразуем нашу функцию: = = , где , . Получаем следующее разложение: =2 = =2 . По условию задачи мы должны отбросить все слагаемые, начиная с х6, поэтому останется следующее: . Теперь в это разложение подставим значение х=1,67. . 2. Вычислим непосредственно = . Погрешность составила . Чем больше мы возьмем слагаемых в разложении ряда, тем точнее будет значение функции. В данном случае погрешность большая.
2) , . Преобразуем: = = . Используем разложение в ряд функции , где . Получаем:
+
+ Теперь подставляем значение .
.
Вычислим непосредственно: . Погрешность составила . ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|