Здавалка
Главная | Обратная связь

Знакочередующиеся ряды



Определение. Ряд вида

,(1)

где для всех n называется знакочередующимся или знакопеременным.

Пример. .

Для знакочередующихся рядов Лейбниц установил следующий признак сходимости:

Теорема.Если члены ряда (1) монотонно убывают по абсолютной величине и общий член ряда стремится к нулю при , то ряд сходится.

Доказательство. Итак, дано, что

, 0.

Рассмотрим частные суммы ряда (1) с чётными номерами:

.

В силу условий теоремы все разности в скобках положительны. А тогда последовательность частных сумм с чётными номерами является положительной и возрастающей. Частную сумму с чётным номером можно записать и так:

.

Отсюда видно, что для всех k

. (2)

Таким образом, { } возрастающая и ограниченная последовательность. По соответствующей теореме существует

S.

Покажем, что последовательность частных сумм с нечётными номерами также имеет предел, равный S. Тогда теорема, очевидно, будет доказана. Имеем:

.

Замечание 1. Все условия теоремы существенны. Относительно стремления к нулю общего члена это ясно. Покажем, что условие монотонного убывания членов ряда по абсолютной величине является существенным. Рассмотрим ряд

.

Это знакочередующийся ряд, общий член ряда стремится к нулю с возрастанием номера. При этом члены ряда не убывают с возрастанием номера по абсолютной величине, что видно из неравенства

,

которое легко проверить.

Далее,

при .

Следовательно, ряд расходится.

Замечание 2. Перейдём в неравенстве (2) к пределу

. (3)

Итак, для суммы сходимости ряда (1) верна оценка (3). Рассмотрим разность

.

Для знакочередующегося ряда в скобках верна оценка (3). Тогда получаем

. (4)

Таким образом, замена суммы лейбницовского ряда его частной суммой даёт погрешность, которая не превосходит первого отброшенного члена ряда по абсолютной величине.

Пример.Рассмотрим ряды

, (5)

. (6)

Ряды (5) и (6) сходятся по признаку Лейбница.

Сколько нужно взять членов ряда, чтобы подсчитать сумму ряда с точностью до 0,01?

а) , если , б) , если .

В этом случае говорят, что ряд (5) сходится медленнее, чем ряд (6).







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.