Знакочередующиеся ряды
Определение. Ряд вида ,(1) где для всех n называется знакочередующимся или знакопеременным. Пример. . Для знакочередующихся рядов Лейбниц установил следующий признак сходимости: Теорема.Если члены ряда (1) монотонно убывают по абсолютной величине и общий член ряда стремится к нулю при , то ряд сходится. Доказательство. Итак, дано, что , 0. Рассмотрим частные суммы ряда (1) с чётными номерами: . В силу условий теоремы все разности в скобках положительны. А тогда последовательность частных сумм с чётными номерами является положительной и возрастающей. Частную сумму с чётным номером можно записать и так: . Отсюда видно, что для всех k . (2) Таким образом, { } возрастающая и ограниченная последовательность. По соответствующей теореме существует S. Покажем, что последовательность частных сумм с нечётными номерами также имеет предел, равный S. Тогда теорема, очевидно, будет доказана. Имеем: . Замечание 1. Все условия теоремы существенны. Относительно стремления к нулю общего члена это ясно. Покажем, что условие монотонного убывания членов ряда по абсолютной величине является существенным. Рассмотрим ряд . Это знакочередующийся ряд, общий член ряда стремится к нулю с возрастанием номера. При этом члены ряда не убывают с возрастанием номера по абсолютной величине, что видно из неравенства , которое легко проверить. Далее, при . Следовательно, ряд расходится. Замечание 2. Перейдём в неравенстве (2) к пределу . (3) Итак, для суммы сходимости ряда (1) верна оценка (3). Рассмотрим разность . Для знакочередующегося ряда в скобках верна оценка (3). Тогда получаем . (4) Таким образом, замена суммы лейбницовского ряда его частной суммой даёт погрешность, которая не превосходит первого отброшенного члена ряда по абсолютной величине. Пример.Рассмотрим ряды , (5) . (6) Ряды (5) и (6) сходятся по признаку Лейбница. Сколько нужно взять членов ряда, чтобы подсчитать сумму ряда с точностью до 0,01? а) , если , б) , если . В этом случае говорят, что ряд (5) сходится медленнее, чем ряд (6). ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|