 |
|
Признаки Абеля и Дирихле сходимости рядов
Преобразование Абеля
Рассмотрим конечную сумму
.
Пусть 
,
,
…,
,
…,
.
Тогда
,
,
…,
,
…,
.
Кроме того,
,
где 
, 
, так называемые первые разности.
Получили равенство
,
которое обычно называют преобразованием Абеля.
Неравенство Абеля
Рассмотрим сумму . Будем предполагать, что конечная последовательность 
является монотонной. Пусть 
, 
. Тогда верно неравенство
.
Доказательство. Применим к сумме преобразование Абеля
.
Учитывая, что конечная последовательность является монотонной (значит, все первые разности 
имеют один и тот же знак), продолжим оценку:
.
Теорема 1 (Абель).Если последовательность 
монотонна и ограничена, а ряд 
сходится, то ряд 
также сходится.
Доказательство. Так 
ограничена, то
.
Зададимся произвольным 
. Так как ряд 
сходится, то для него выполняется критерий Коши. Тогда
.
Тогда, применяя неравенство Абеля (4) и последнюю оценку, получим
при 
и 
. Видим, что для ряда 
выполнен критерий Коши, ряд сходится.
Теорема 2 (Дирихле).Пусть дан ряд такой, что после-довательность монотонно стремится к нулю, а последовательность 
ограничена. Тогда данный ряд сходится.
Доказательство. Пусть 
для 
. Тогда для любого 
и любого 
. (5)
Зададимся произвольным . Так как 
при 
, то
. (6)
Применяя неравенство Абеля, неравенства (5) и (6), получим
при 
и . Видим, что для данного ряда выполнен критерий Коши, значит, ряд сходится.
Примеры.1) Рассмотрим ряд 
. Заметим, что ряд 
сходится по признаку Лейбница, а последовательность 
возрастает и ограниченная. По признаку Абеля исходный ряд сходится.
2) В качестве примера на признак Дирихле докажем признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
Итак, дан ряд 
, где – положительная, монотонно убывающая и стремящаяся к нулю последовательность. Нужно показать, что ряд сходится.
Положим здесь 
. Тогда
= 
Видим, что 
– ограниченная последовательность. Выполнены все условия теоремы Дирихле, ряд сходится.