 |
|
О связи между действительными рядами и несобственными интегралами
Мы будем рассматривать несобственный интеграл вида 
, предполагая, как обычно, существование интеграла 
при любом 
. Между интегралами такого вида и действительными рядами 
существует глубокая аналогия.
Если процесс суммирования по n заменить процессом интегрирования по x, то аналогами будут:
1) общий член ряда 
и подынтегральная функция 
,
2) частная сумма ряда 
и интеграл 
,
3) сумма ряда , как предел 
при 
, и несобственный интеграл , как предел 
при 
.
4) остаток ряда 
и интеграл 
.
При построении теории рядов и интегралов мы получили много аналогичных результатов, таких как признаки сравнения рядов и интегралов, признаки сходимости Абеля и Дирихле для обоих случаев, вводили в обоих случаях абсолютную и условную сходимость и т.д.
Более того, вопрос о сходимости интеграла можно свести к изучению числовых рядов. Действительно, интеграл сходится к числу K, если
, где .
Вспоминая определение предела функции по Гейне, можем сказать, что для сходимости интеграла к числу K необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательность чисел 
( 
) такой, что 
, выполнялось
.
С другой стороны, вопрос о пределе последовательности 
тождественен вопросу о сумме ряда
.
Таким образом, получена
Теорема. Для сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы, какова бы ни была последовательность 
, ряд
( 
)
сходится к одной и той же сумме, которая и является значением несобственного интеграла.
Заметим, что если неотрицательная функция, то для существования интеграла достаточно сходимости указанного ряда при одном частном выборе возрастающей последовательности чисел 
. Действительно, в этом случае возрастающая функция 
будет ограничена суммой этого ряда, а тогда, как известно, существует 
.
Заметим, что отмеченная аналогия между рядами и интегралами не является полной. Так, нам известно, что если ряд сходится, то 
при . Если же интеграл сходится, то отсюда не следует, что 
при 
.
Приведём пример. Рассмотрим интеграл 
. Ясно, что подынтегральная функция 
при вообще не имеет предела, но интеграл сходится. Действительно, сделаем замену переменного, положив 
. Тогда 
, 
и
.
Последний интеграл, как показано в теории несобственных интегралов, сходится.
 |