 |
|
Тема 4.2 Рівняння прямої на площині
1. Загальне рівняння прямої, або рівняння прямої, яка проходить через дану точку, перпендикулярно даному вектору.
Потрібно скласти рівняння прямої, що проходить через точку М0 перпендикулярно до вектора 
. 
Рівняння має вигляд: А(х-х0) + В(у-у0)=0.
2. Канонічне і параметричне рівняння прямої
Положення прямої на площині відносно системи координат можна задати будь-якою точкою М(х0,у0), що належить цій прямій, і напрямком прямої, тобто вектором 
, колінеарним цій прямій.
Ненульовий вектор 
, який паралельний прямій, називається напрямним вектором прямої.
Через точку М0(x0,y0) можна провести одну і тільки одну пряму, паралельну вектору 
.
Пряма, що проходить через дану точку М(х0,у0) з даним напрямленим (паралельним) вектором 
називається канонічним рівнянням прямої.
Таке рівняння має вид: 
.
3. Параметричне рівняння прямої: 
4. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.
Нехай М1(x1;y1) та М2(x2;y2) – дві точки прямої, тоді рівняння прямої, яка проходить через ці точки має вигляд: 
5. Рівняння прямої «у відрізках»
Розглянемо довільне рівняння першого степеня
Ах + Ву + С = 0, А2 + В2 > 0. Нехай всі коефіцієнти А, В і С відмінні від нуля. Тоді рівняння можна записати у вигляді 
. Прийнявши 
, отримаємо рівняння: 
6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
Нехай пряма задана точкою Мо(хо;уо) і кутом φ, який вона утворює з додатним напрямком осі Ох.
Її канонічне рівняння , якщо 
, можна записати у вигляді 
.
Тангенс кута φ нахилу прямої до осі Ох називається кутовим коефіцієнтом прямої.Позначимо 
і рівняння набуває вигляду y=k(x - xo) + yo , якщо прийняти yo- kxo=b, тоді рівняння має вигляд: y = kx + b.
Параметр b є ординатою точки перетину прямої з віссю Оу. Якщо пряма паралельна вісі Оу, то 
і кутовий коефіцієнт k в цьому випадку не визначений.
Отже, рівняння прямої, паралельної осі Оу, не може бути записане у даному вигляді.
7. Рівняння прямої, яка проходить через дану точку і має даний кутовий коефіцієнт: у-уо= k(х-хо) .
8. Нормальне рівняння прямої.
Рівняння xcosα + ysinα – p = 0 називається нормальним рівнянням прямої. У цього рівняння 
- одиничний вектор нормального вектора 
прямої, р – довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму.
Якщо пряма задана загальним рівнянням Ах+Ву+С = 0, то її нормальне рівняння має вигляд 
.
Знак перед коренем вибирається протилежним до знаку вільного члена.
9. Рівняння пучка прямих.
Пучком прямих на площині з центром у даній точці називається сукупність прямих, що проходять через цю точку. Пучок прямих можна задати будь-якими двома прямими А1х + В1у + С1 = 0, А2х + В2у + С2=0, які перетинаються. Точка їх перетину є центром пучка. Рівняння шуканого пучка має вигляд: А1х + В1у + С1 + m(А2х + В2у + С2) = 0.
Якщо m=0, отримуємо першу пряму, якщо m=∞,- другу пряму. Щоб із пучка виділити певну пряму, треба задати додаткову умову для встановлення значення параметра m, що відповідає даній прямій.