Главная | Обратная связь

ВИДЫ ПРОСТЫХ СУЖДЕНИЙ

По качеству связки ( “есть” или “не есть” ) про­стые суждения разделяются наутвердительные и отрицательные. “Книги стоят на полках” — ут­вердительное суждение; “Попугаи не живут в Си­бири” - отрицательное. Следует обратить внима­ние на то, что в отрицательных суждениях отрицание “не” стоит перед связкой. Отрицательные суждения нельзя смешивать с утвердительными суждениями, в которых предикатом является от­рицательное понятие типа “несмелый”, “неуме­лый”, “невысокий” и т.п. Когда мы слышим: “Петр не глуп”, то далеко не всегда ясно, что имеется в виду - отрицательное суждение “Петр не есть глуп” или утвердительное суждение с отрицатель­ным предикатом “Петр есть неглуп”. Но это — раз­ные суждения, отождествление которых может приводить к логическим ошибкам.

В зависимости от того, обо всем объеме субъек­та идет речь в суждении или лишь о его части, суж­дения подразделяются наобщие и частные. Это называется разделением суждений по количеству. Для указания количества суждения перед субъектом обычно ставится кванторное слово (или просто квантор): все, всякий, каждый, ни один - для об­щих суждений (эти слова показывают, что в сужде­нии речь идет обо всех предметах, включенных в объем субъекта); некоторые, большинство, от­дельные - для частных суждений (эти слова пока­зывают, что в суждении речь идет лишь о некоторых предметах, входящих в объем субъекта). Иногда квантор не имеет явного языкового выражения и лишь подразумевается, но при выявлении логиче­ской структуры суждения его следует формулиро­вать в явном виде. Пример: “Ни один кит не являет­ся рыбой” - общее суждение; “Некоторые цветы — розы” — частное.

Объединяя разделение суждений по качеству и количеству, мы получаем объединенную класси­фикацию простых суждений, включающую в себя суждения четырех различных типов.

Общеутвердительные суждения: “Все S есть Р”, например: “Все люди — позвоночные”.

Общеотрицательные суждения (“Ни одно S не есть Р”), например: “Ни один таракан не является лошадью”.

Частноутвердительные суждения: “Некоторые S есть Р”, например: “Некоторые элементарные час­тицы имеют положительный заряд”.

Частноотрицательные суждения: “Некоторые S не есть Р”, например: “Некоторые деревья не явля­ются хвойными”.

Единичные суждения, т.е. суждения, говорящие

06 отдельных предметах, в этой классификации от­носятся к общим суждениям, например, “Автор "Гулливера" жил в Англии” рассматривается как об­щее, поскольку в нем речь идет обо всем объеме субъекта, подразумевается, что, так сказать, “вся­кий автор "Гулливера" или “весь автор "Гулливе­ра"” жил в Англии. Точно так же обстоит дело со всеми другими единичными суждениями.

3) Идет как- то крестьянин по дороге и причитает: “Ну что же это такое! Вечно у меня ничего нет! Вон, посмотришь, у других - было много, а стало еще больше. А у меня в кармане только несколько копеек осталось. Хоть бы кто-нибудь мне помог!” Только он эти слова произнес, а перед ним ~ сам черт! Все как полагается — копыта, хвост, морда от­вратительная, но... улыбается. “Давай помогу, — предлагает черт крестьянину. - Видишь мост через реку? Как только перейдешь по мосту на другой бе­рег - деньги у тебя в кармане удвоятся. Перейдешь назад — опять удвоятся, и так будут удваиваться всякий раз, как ты по мосту пройдешь. Одно только условие: каждый раз, когда ты через мост прой­дешь, будешь отдавать мне 24 копейки, осталь­ное - твое. Согласен?” Подумал крестьянин: нет ли тут подвоха какого? Черт все-таки! Потом решился:

“Согласен!”

Перешел крестьянин через мост один раз — и правда, количество денег в кармане удвоилось! Бросил черту 24 копейки, повернул назад, прошел через мост второй раз — опять денег стало вдвое больше! Бросил черту его 24 копейки, повернул и пошел через мост в третий раз. Деньги опять уд­воились, да только отдал он черту 24 копейки и все - ничего у него в кармане не осталось, ни единой копеечки...

Сколько же денег было в кармане у крестьянина, когда он встретился с чертом? Сколько ему нужно было иметь, чтобы хотя бы остаться при своих? Сколько нужно было иметь, чтобы нажиться на этой сделке?

ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ

Сложным называют суждение, содержащее логи­ческие связки и состоящее из нескольких простых суждений.

В дальнейшем простые суждения мы будем рассматривать как некие неделимые атомы, как

элементы, из соединения которых возникают сложные структуры. Простые суждения будем обозначать отдельными латинскими буквами: а, Ь, с, d,... Каждая такая буква представляет некото­рое простое суждение. Откуда это видно? Отвле­каясь от сложной внутренней структуры простого суждения, от его количества и качества, забыв о том, что в нем имеется субъект и предикат, мы удерживаем лишь одно свойство суждения - то, что оно может быть истинным или ложным. Все остальное нас здесь не интересует. И когда мы го­ворим, что буква “а” представляет суждение, а не понятие, не число, не функцию, мы имеем в виду только одно: это “а” представляет истину или ложь. Если под “а” мы подразумеваем суждение “Кенгуру живут в Австралии”, мы подразумеваем истину; если же под “а” мы подразумеваем суж­дение “Кенгуру живут в Сибири”, мы подразуме­ваем ложь. Таким образом, наши буквы “а”, “Ь”, “с” и т.д. - это переменные, вместо которых могут подставляться истина или ложь.

Логические связки представляют собой фор­мальные аналоги союзов нашего родного естест­венного языка. Как сложные предложения строятся из простых с помощью союзов “однако”, “так как”, “или” и т.п., так и сложные суждения образуются из простых с помощью логических связок. Здесь ощу­щается гораздо большая связь мысли с языком, по­этому в дальнейшем мы вместо слова “суждение”, обозначающего чистую мысль, часто будем исполь­зовать слово “высказывание”, обозначающее мысль в ее языковом выражении. Итак, давайте познакомимся с наиболее употребительными логиче­скими связками.

Отрицание. В естественном языке ему соответ­ствует выражение “Неверно, что...”. Отрицание обычно обозначается знаком “-”, стоящим перед буквой, представляющей некоторое суждение: “-а” читается “Неверно, что а”. Пример: “Неверно, что Земля - шар”.

Следует обратить внимание на одно тонкое обсто­ятельство. Выше мы говорили о простых отрицатель­ных суждениях. Как их отличить от сложных суждений с отрицанием? Логика различает два вида отрица­ния — внутреннее и внешнее. Когда отрицание стоит внутри простого суждения перед связкой “есть”, то в этом случае мы имеем дело с простым отрицатель­ным суждением, например: “Земля не шар”. Если же отрицание внешним образом присоединяется к суж­дению, например: “Неверно, что Земля - шар”, то та­кое отрицание рассматривается как логическая связка, преобразующая простое суждение в сложное.

Конъюнкция. В естественном языке этой связке соответствуют союзы “и”, “а”, “но”, “однако” и т.п. Чаще всего конъюнкция обозначается значком “&”. Сейчас этот значок часто встречается в названиях различных фирм и предприятий. Суждение с такой связкой называется конъюнктивным, или просто конъюнкцией, и выглядит следующим образом:

а & Ь. Пример: “В корзине у деда лежали подбере­зовики и маслята”. Это сложное суждение пред­ставляет собой конъюнкцию двух простых сужде­ний: -“В корзине у деда лежали подберезовики” и “В корзине у деда лежали маслята”.

Дизъюнкция. В естественном языке этой связке соответствует союз “или”. Обычно она обозначается знаком “v”. Суждение с такой связкой называется дизъюнктивным, или просто дизъюнкцией, и выгля­дит следующим образом: а v Ь.

Союз “или” в естественном языке употребляется в двух разных смыслах: нестрогое “или” - когда члены дизъюнкции не исключают друг друга, т.е. могут быть одновременно истинными, и строгое “или” (часто заменяется парой союзов “либо..., ли­бо...”) - когда члены дизъюнкции исключают друг друга. В соответствии с этим различают и два вида дизъюнкции - строгую и нестрогую.

Импликация. В естественном языке ей соответ­ствует союз “если... то”. Она обозначается знаком “—>”. Суждение с такой связкой называется импликативным, или просто импликацией, и выглядит следующим образом: а —> Ь. Пример: “Если по про­воднику проходит электрический ток, то проводник нагревается”. Первый член импликации называется антецедентом, или основанием; второй - консеквентом, или следствием. В повседневном языке со­юз “если... то” обычно соединяет предложения, ко­торые выражают причинно-следственную связь яв­лений, причем первое предложение фиксирует причину, а второе - следствие. Отсюда и названия членов импликации.

Представление высказываний естественного языка в символическом виде с помощью ука­занных выше обозначений означает их форма­лизацию, которая во многих случаях оказывает­ся полезной. 4) Прекрасный остров лежал в теплом океане. И все бы хорошо, да повадились на этом острове ус­траиваться на жительство чужестранцы. Едут и едут со всех концов света, уж коренных жителей стеснять стали. Дабы воспрепятствовать нашествию чужест­ранцев, правитель острова издал указ: “Всякий при­езжий, желающий поселиться на нашем благосло­венном острове, обязан высказать какое-нибудь суждение. Если суждение окажется истинным, чу­жестранца следует расстрелять; если же суждение окажется ложным, его следует повесить”. Боишь­ся — тогда молчи и поворачивай восвояси!

Спрашивается: какое нужно высказать сужде­ние, чтобы остаться в живых и все-таки поселиться на острове?

ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ

Теперь мы подошли к очень важному и трудному вопросу. Сложное суждение - это тоже мысль, ко­торая что-то утверждает или отрицает и которая поэтому оказывается истинной или ложной. Во­прос об истинности простых суждений лежит вне сферы логики — на него отвечают конкретные на­уки, повседневная практика или наблюдение. Ис­тинно или ложно суждение “Все киты - млекопи­тающие”? Нужно спросить биолога, и он скажет нам, что это суждение истинно. Истинно или лож­но суждение “Железо тонет в воде”? Нужно обра­титься к практике: бросим в воду какую-нибудь железку и убедимся, что это суждение истинно.

Короче говоря, вопрос об истинности или ложнос­ти простых суждений в итоге всегда решается по­средством обращения к той реальности, к которой они относятся.

Но как установить истинность или ложность сложного суждения? Пусть у нас имеется некоторая конъюнкция “а & Ь” и нам известно, что суждение “а” истинно, а суждение “Ь” ложно. Что можно ска­зать об этом сложном высказывании в целом? Если бы в реальности существовал объект, к которому относится связка “&”, то трудности не возникло бы:

обнаружив этот объект, мы могли бы сказать: “Есть! Конъюнкция истинна!”; обшарив все вокруг и не об­наружив соответствующего объекта, мы бы конста­тировали: “Конъюнкция ложна”. Но дело в том, что логическим связкам - как, впрочем, и союзам есте­ственного языка - в реальности ничего не соответ­ствует! Это изобретенные нами средства связи мыс­лей или предложений, это - орудия мышления, не имеющие аналогов в реальности. Поэтому во­прос об истинности или ложности высказываний с логическими связками - не вопрос конкретных наук или материальной практики, а чисто логичес­кий вопрос. И его решает логика.

Мы договариваемся или принимаем соглаше­ния относительно того, когда высказывания с той или иной логической связкой считать истинными, а когда — ложными. Конечно, в основе этих согла­шений лежат некоторые рациональные соображе­ния, однако важно иметь в виду, что это - наши произвольные соглашения, принятые в целях удобства, простоты, плодотворности, но не навязанные нам реальностью. Поэтому мы вольны из­менять эти соглашения и делаем это, когда счита­ем нужным.

Соглашения, о которых идет речь, выражаются таблицами истинности для логических связок, по­казывающими, в каких случаях высказывание с той или иной связкой считается истинным, а в каких - ложным. При этом мы опираемся на истинность или ложность простых суждений, яв­ляющихся компонентами сложного суждения. “Истина” (“и”) и “ложь” (“л”) называются “ис­тинностными значениями” суждения: если пере­менная представляет истинное суждение, она принимает значение “истина”; если же - ложное, она принимает значение “ложь”. Каждая пере­менная может представлять как истину, так и ложь.

Отрицание применяется к одному суждению. Это суждение может быть истинным или ложным, поэтому таблица для отрицания выглядит следую­щим образом:

А	-А
и	л
л	и

 

Если исходное суждение истинно, то его отри­цание мы договариваемся считать ложным; если же исходное суждение ложно, то его отрицание мы считаем истинным. Кажется, такое соглаше­ние соответствует нашей интуиции. Действитель­но, суждение “Байрон был английским поэтом” истинно, поэтому его отрицание “Неверно, что Байрон был английским поэтом” естественно счи­тать ложным. Суждение “Афины находятся в Ита­лии” ложно, поэтому его отрицание “Неверно, что Афины находятся в Италии” естественно счи­тать истинным.

Таблицы истинности для остальных логических связок мы для удобства приводим все вместе:

	а	Ь	а&Ь	a v b	а -> b
	и	и	и	и	и
	и	л	л	и	л
	л	и	л	и	и
	л	л	л	л	и

 

Все приведенные здесь связки соединяют два суждения. Для двух суждений имеется четыре воз­можности: оба могут быть истинными; одно истинно, другое - ложно; одно ложно, другое - истинно; оба ложны. Все эти возможности учтены как случаи 1—4.

Конъюнкция истинна только в одном случае -когда оба ее члена истинны. Во всех остальных слу­чаях мы считаем ее ложной. В общем, это кажется довольно естественным. Допустим, вы говорите своему избраннику: “Я выйду за тебя замуж и буду тебе верна”. Вы действительно вышли замуж за это­го человека и храните ему верность. Он доволен: вы его не обманули, конъюнкция в целом истинна. Вто­рой случай: вы вышли замуж, но не храните верно­сти своему мужу. Он негодует, считает, что вы его обманули, - конъюнкция ложна. Третий случай: вы не вышли замуж за того, кому обещали, хотя и хра­ните ему верность, лелея воспоминания о первой и, увы, единственной любви. Опять-таки он в расстро­енных чувствах: вы его обманули - конъюнкция ложна. Наконец, четвертый вариант: вы и замуж за него не вышли и, естественно, верности ему не хра­ните. Ваш поклонник в бешенстве: вы его нагло об­манули - конъюнкция ложна.

Аналогичные соображения оправдывают и табли­цу истинности для дизъюнкции. Несколько сложнее обстоит дело с импликацией. Рассмотрим суждение “Если солнце взошло, на улице стало светло”. Здесь импликация соединяет два простых суждения “Солн­це взошло” и “На улице стало светло”. Когда оба они истинны, то импликацию в целом мы считаем истин­ной. Теперь второй случай: солнце взошло, но на ули­це светло не стало. Если такое вдруг произошло, мы сочтем нашу импликацию ложной: видимо, чего-то мы не учли, когда формулировали такую связь между двумя суждениями. Третий случай: солнце не взошло, но на улице стало светло. Опровергнет ли это нашу импликацию? Отнюдь нет, такое вполне возможно:

на улице зажглись фонари, стало светло, но это не противоречит связи между восходом солнца и наступ­лением светлого времени суток. Импликацию можно считать истинной. Наконец, четвертый случай: солнце не взошло и светло не стало. Это вполне естественно, наша импликация остается истинной.

Поясняя таблицы истинности для логических свя­зок, мы старались показать, что эти таблицы в какой-то мере соответствуют нашей языковой интуиции, на­шему пониманию смысла союзов естественного язы­ка. Однако не следует переоценивать степень такого соответствия. Союзь естественного языка гораздо бо­гаче и тоньше по смысловому содержанию, нежели логические связки. Последние схватывают лишь ту часть этого содержания, которая относится к соотно­шениям истинности или ложности простых высказы­ваний. Более тонких смысловых связей логические связки не учитывают. Поэтому иногда возможно до­вольно большое расхождение между логическими связками и союзами естественного языка. С помощью этих связок создают программы для компьютеров, и теперь вы можете понять, какую часть нашего мыш­ления способен усвоить и использовать компьютер.

5) Как разделить 7 яблок поровну между 12 мальчиками, не разрезая при этом ни одного яб­лока на 12 частей? (Наложенное условие призвано исключить самое простое решение: разрезать каж­дое яблоко на 12 частей и дать каждому мальчику по одной дольке от каждого яблока или 6 яблок разре­зать пополам, а 7-е яблоко разрезать на 12 частей.)

6) На одном острове живут два племени - мо­лодцы, которые всегда говорят правду, и лжецы, ко­торые всегда лгут. На остров приезжает путешест­венник, который знает об этом, и, встретив местного жителя, спрашивает его: “Кто ты, из какого рода-племени?” “Я молодец!” - гордо отвечает абориген. “Вот хорошо, — обрадовался путешественник, - бу­дешь моим проводником!” Гуляют они по острову и вдруг видят вдалеке еще одного аборигена. “Пой­ди спроси у него, - говорит путешественник своему проводнику, — из какого он племени?” Проводник сбегал вернулся и доложил. “Он сказал, что он — молодец!” “Ага, — подумал пу ешественник, — те­перь я точно знаю, из какого племени ты сам!”

Как путешественник догадался, кем был его проводник?