 |
|
Прямая в пространстве
Векторная алгебра
1) Если даны точки 
и 
, то 
или 
2) Пусть 
, 
и 
, 
. Тогда
, 
.
3) Условие коллинеарности векторов: 
.
4) Модуль (длина) вектора: 
.
5) Направляющие косинусы
причем 
,
- орт вектора 
6) Скалярное произведение векторов: 
или 
; 
; 
.
7) Условие перпендикулярности векторов: 
.
8)Векторное произведение векторов: 
.
; 
.
9) Смешанное произведение векторов: 
Если 
и 
компланарны, то 
10) Деление отрезка в данном отношении:
Если и - концы отрезка, а 
- точка, делящая отрезок в отношении 
, то 
.
Прямая на плоскости
1) 
- общее уравнение прямой;
2) 
- уравнение прямой, проходящей через точку 
перпендикулярно вектору 
3) 
- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору 
4) 
-параметрические уравнения прямой;
5) 
- уравнение прямой, проходящей через две точки 
и 
6) 
- уравнение прямой в отрезках, где 
и 
- величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях 
и 
соответственно;
7) 
- уравнение прямой с угловым коэффициентом, где 
- угловой коэффициент прямой, а - отрезок, отсекаемый прямой на оси 
8) 
- уравнение прямой, проходящей через точку 
где 
- угловой коэффициент прямой.
9) Угол 
между двумя прямыми 
и 
: 
и 
10) Условие перпендикулярности: 
или 
11) Условие параллельности: 
или 
.
12) Расстояние от точки 
до прямой 
:
.
Кривые второго порядка
1) Каноническое уравнение окружности: 
центр в точке 
радиус равен 
.
2) Каноническое уравнение эллипса: 
Числа 
называются полуосями эллипса, точки 
- фокусы эллипса,
.
Отношение 
называется эксцентриситетом эллипса.
3) Каноническое уравнение гиперболы 
Числа 
называются действительной и мнимой полуосями, точки -фокусы гиперболы, 
.
-асимптоты гиперболы.
- называется эксцентриситетом гиперболы.
4) Каноническое уравнения параболы: 
Точка 
- фокус параболы 
.
-уравнениедиректрисы параболы
.
Плоскость
1) 
- уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно вектору 
;
2) 
- общее уравнение плоскости - нормаль плоскости;
3) 
- уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки 
, 
и 
;
4) 
- уравнение плоскости в отрезках, где 
- величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях 
и 
соответственно.
5) Угол между двумя плоскостями:
.
6) Условие параллельности двух плоскостей: 
.
7) Условие перпендикулярности двух плоскостей:
.
8) Расстояние от точки 
до плоскости находят по формуле
Прямая в пространстве
1) 
- канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку 
параллельно вектору 
;
2) 
-параметрические уравнения;
3) 
- уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки 
, 
;
4) 
- общие уравнения прямой.
Направляющий вектор этой прямой 
.
5) Угол между двумя прямыми 
и 
:
6) Условие параллельности двух прямых: 
.
7) Условие перпендикулярности двух прямых: 
.
8) Угол между прямой и плоскостью: 
.
9) Условие параллельности прямой и плоскости: 
.
10) Условие перпендикулярности прямой и плоскости: 
.