 |
|
Взаимное расположение прямых, заданных различными уравнениями.
Основные формулы
Если точка 
- начало, а точка 
- конец вектора 
то 
Векторы 
и 
коллинеарны тогда и только тогда, когда 
Скалярное произведение векторов :
или 
.
Если 
то 
Длина вектора равна 
Косинус угла 
между векторами 
и 
находят по формуле
Если векторы и взаимно перпендикулярны, то
Если 
и 
, то длина отрезка 
равна 
.
Деление отрезка в данном отношении 
:
Координаты середины отрезка:
Направляющие косинусы вектора.
причем 
Векторное произведение векторов
и вычисляют по формуле:
.
Площадь треугольника, построенного на этих векторах: 
.
Смешанное произведение векторов 
и 
Если 
и 
то
. Если 
и 
компланарны, то 
Объем параллелепипеда, построенного на векторах и 
Объем пирамиды, построенной на этих векторах: 
Основные уравнения прямой на плоскости:
1) 
- общее уравнение прямой;
2) 
- уравнение прямой, проходящей через точку 
перпендикулярно вектору 
3) 
- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору 
4) 
-параметрические уравнения прямой;
5) 
- уравнение прямой, проходящей через две точки 
и 
6) 
- уравнение прямой в отрезках, где 
и 
- величины направленных отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях 
и 
соответственно;
7) 
- уравнение прямой с угловым коэффициентом, где 
- угловой коэффициент прямой, а - отрезок, отсекаемый прямой на оси 
8) 
- уравнение прямой (или пучка прямых), проходящей через точку 
где - угловой коэффициент прямой.
Взаимное расположение прямых, заданных различными уравнениями.
1. Пусть даны прямые 
Угол между этими прямыми 
2. Пусть две прямые заданы общими уравнениями
Тогда угол 
между этими прямыми равен углу между их нормалями 
и 
т. е.
Условие перпендикулярности: 
Условие параллельности: 
3. Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями 
Тогда 
Условие перпендикулярности: 
Условие параллельности: 
Расстояние от точки 
до прямой :
Основные уравнения плоскостей:
1) 
- уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно вектору 
;
2) 
- общее уравнение плоскости ( 
- координаты нормали плоскости);
3) 
- уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки 
, 
и 
;
4) 
- уравнение плоскости в отрезках, где 
-величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях 
и 
соответственно.
Взаимное расположение 
и 
:
,
.
Тогда имеем:
1. 
;
2. 
.
.
Расстояние от точки 
до плоскости находят по формуле
Основные уравнения прямых в пространстве:
1) 
- канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку 
параллельно вектору 
;
2) 
-параметрические уравнения;
3) 
- уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки 
, 
,
3) 
- общие уравнения прямой