 |
|
Метод Гауса (метод послідовного вилучення змінних)
Метод Гауса полягає у приведенні системи до спрощеного вигляду, з якого отримується вичерпна інформація щодо рішень системи. Це досягається за рахунок послідовного застосування так званих “елементарних перетворень ”, при чому на кожному кроці цих перетворень отримується система, еквівалентна вихідній.
Елементарними перетвореннями системи називаються такі перетворення:
1. Множення будь-якого рівняння на ненульове число.
2. Додавання до одного рівняння іншого.
3. Переставлення рівнянь.
Поряд з цим ми можемо, якщо треба, переставляти стовпці рівняння, які містять змінні. Розглянемо метод Гаусса на прикладах.
Приклад 1.3. Розглянемо систему з попереднього пункту 
.
Утворимо так звану розширену матрицю системи, з якою і будемо працювати. Для цього до матриці системи допишемо за рискою справа стовпець вільних членів:
.
Зробимо елементарні перетворення розширеної матриці які призводять до рівносильної системи. Помножимо перший рядок на –2, а потім на –3 і додамо відповідно до другого і третього рядків. Отримаємо 
.
Метою перетворення було отримання нулів під одиницею з лівого верхнього кута. Далі поділимо друге рівняння на –4:
.
Тепер помножимо друге рівняння на 5 і додамо до третього
.
Нарешті поділимо третій рядок на 
.
Останній запис означає, що ми прийшли до системи
.
Звідси, рухаючись знизу вгору, маємо 
; 
, тобто 
; 
, тобто 
;
Рішення: ; ; .
В цьому прикладі елементарні перетворення призводили матрицю системи до трикутного вигляду, а система мала єдине рішення. В загальному випадку, якщо лінійна система сумісна, то вона або має єдине рішення, або, якщо рішень більше, ніж одне, то їх нескінченна множина.
Приклад 1.4. 
.
~ 
~ 
~ 
.
Система звелась до вигляду, де лишилося два рівняння. В цих рівняннях змінну 
можна вибрати вільною і через неї виразити решту:
, або 
.
При цьому змінній можна надавати будь-якого значення. Зокрема, якщо наприклад, 
, то 
і 
і трійка чисел 14; -9; 0 є рішення системи. Якщо ж, наприклад 
, то тоді 
і 
і рішення системи таке: 
, 
, і т.д.
Може статися і так, що усі три рівняння системи пропорційні. Тоді їх можна, підбираючи потрібний множник, зробити однаковими. То ж два з них зайві і система зводиться до одного рівняння з трьома змінними. Тоді розв’язки мають таку структуру – дві змінних обираються незалежними (наприклад, 
, ), а третя виражається з рівняння через них. Як і в попередньому випадку, система матиме нескінченну множину рішень, але в останньому випадку структура цієї множини, так би мовити, дещо багатіша.
Приклад 1.5.Розв’яжемо систему 
.
~ 
~ 
.
Таким чином, задана система рівносильна до такої системи:
Отримана система несумісна, оскільки її останнє рівняння суперечне. З цього випливає, що задана система також несумісна.
Наприкінці зазначимо, що без будь-яких принципових змін наведені результати переносяться на системи з більшим числом змінних.