 |
|
Визначений інтеграл.
Розглянемо неперервну функцію на відрізку 
. Розіб’ємо цей відрізок довільним чином на n часткових відрізків довжиною 
та оберемо в кожному з них, також довільним чином, по одній точці 
, визначимо в цих точках значення функції 
, а саме 
. Тепер розглянемо суму 
, яку називають інтегральною сумою, та її границю при умові, що 
і довжина найбільшого часткового відрізку прямує до нуля. Так як розбиття відрізку виконується довільним чином, то таких інтегральних сум можна скласти безліч, які мають одну загальну границю.
Загальна границя всіх інтегральних сум функції 
на відрізку 
називається визначеним інтегралом від в межах від а до b та позна-чається 
.
Очевидно, інтегральна сума відповідає приблизному значенню площі криволінійної трапеції, яка утворена кривою та прямими 
(якщо 
).Таким чином, визначений інтеграл 
є число, що дорівнює площі криволінійної трапеції, утвореної функцією на відрізку .
Визначений інтеграл має наступні властивості:
1. При зміні границь інтегрування змінюється знак визначеного інтегралу, а саме:
.
2. Інтеграл з рівними границями дорівнює нулю, тобто:
.
3. Відрізок інтегрування можна розбивати на частини, тобто:
.
4. Інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів від її доданків, тобто:
.
5. Сталий множник виноситься за знак інтегралу, тобто:
.
6. Визначений інтеграл дорівнює приросту первісної на відрізку [a,b] (формула Ньютона-Лейбниця), тобто:
.
Зазначимо, що властивості за позиціями 4 та 5 співпадають із відповідними властивостями невизначеного інтегралу. Розрахунок визначеного інтегралу базується на розглянутих в 6.2. способах обчислення невизначеного інтегралу та зазначених вище властивостях визначеного інтегралу. Якщо для обчислення невизначеного інтегралу застосовується спосіб заміни змінної 
та за цією ж функціональною залежністю змінних необхідно і визначити нові межі інтегрування визначеного інтегралу, які відповідають змінній 
.