 |
|
ЗРАЗОК ВИКОНАННЯ І ОФОРМЛЕННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ.
Завдання 1.
Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за формулами Крамера.
Розв’язок
Обчислимо визначник матриці коефіцієнтів системи:
= 
5+12+21-(-6)-21-(-10)=33 
система має єдиний розв’язок.
Знайдемо визначники 
матриці коефіцієнтів системи, в яких 1-й, 2-й, 3-й стовпець відповідно замінено на стовпець вільних членів.
;
;
Остаточно маємо: 
; 
.
Перевірка. Підставимо значення 
в кожне рівняння системи 
4=4
1=1
8=8
Кожне з рівнянь системи перетворилося на тотожність. Отже, розв’язок системи знайдений правильно.
Відповідь: 
.
Розв’язати систему методом Гаусса.
Розв’язання.
Запишемо розширену матрицю системи:
= 
~ 
~ 
. Така матриця рівносильна системі рівнянь 
- система несумісна.
Відповідь: розв’язків немає.
Завдання 2. З'ясувати, чи паралельні прямі (L1): 3х - y - 2 = 0 та
(L2) :6х +2y + 7 = 0.
Розв'язання.
Визначення паралельності прямих на площині зводиться до визначення клінеарності їх нормальних або напрямних векторів. Пряма задана загальним рівнянням, тому визначимо нормальні вектори: 
, 
.Перевіримо 
і 
наколінеарність: 
; 
- вектори колінеарні. Тому прямі паралельні.
Відповідь: прямі паралельні.
Завдання 3.Знайти границю функції
3.1. 
Розв’язання.
Підставляючи замість х нескінченно велику величину, отримаємо невизначеність 
. Замінимо функції у чисельнику та знаменнику на еквівалентні нескінченно великі: 
~ 
, 
~ 
, ( 
.
Таким чином:
= = 
= 
. Користуючись властивістю границь, згідно до яких константу можна виносити за знак границі, отримаємо:
= 
= ·0=0.
Відповідь: 0.
3.2. Знайти границю 
.
Розв’язання.
Підставляючи 
замість 
отримаємо невизначеність 
. Далі запишемо границю функції так, щоб можна було скористатися формулою другої визначної границі:
= 
= 
= [за формулою граничного переходу маємо]= 
= 
= 
= 
=0.
Завдання 3.3 може бути двох типів:
Тип.
3.3. Знайти границю функції 
.
Розв’язання.
Підставимо замість х нуль і подивимось, чи є в нас невизначеність.
= 
. Невизначеність є. Позбавимося неї, помноживши чисельник та знаменник на вираз 
. Отримаємо:
. Користуючись формулою 
, перетворимо вираз у чисельнику: 
=
= 
= 
= .
Відповідь: .
Й тип.
3.3. Знайти границю 
Розв’язання.
.Відповідь: .
Завдання 4.
4.1. Знайти диференціал функції 
Розв’язання.
Диференціал функціїї 
шукаємо за формулою
.
. Знайдемо похідну функції у:
Диференціал функції: 
.
4.2.Знайти похідну функції 
Розв’язання.
Похідна 
для функції, яка подана в параметричній формі 
, визначається за формулою 
.
= 
Відповідь: 
Завдання 5. Знайти точки екстремуму функції: 
, й обчислити її значення в цих точках.
Розв’язання. Визначимо часткові похідні та критичні точки функції. Маємо
Критичною точкою функції є 
. Розглянемо достатні умови наявності мінімума чи максимума функції для точки .
Маємо
; 
;
,
тоді
та 
значить в точці функція досягає мінімума.
Відповідь: 0.
Завдання 6.
6.1. Знайти інтеграл 
.
Розв’язання.
Відповідь: 
6.2. Обчислити визначений інтеграл 
.
Розв’язання.
Даний інтеграл обчислюється методом інтегрування частинами за формулою
