Абсолютна та умовна збіжність ряду

Розглянемо знакозмінний ряд, у якому члени з додатними і від’ємними знаками не обов’язково чергуються. Позначимо такий ряд , де - числа як додатні, так і від’ємні.

Складаємо ряд з абсолютних величин його членів:

Якщо ряд з абсолютних величин збігається, то знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним. Якщо знакозмінний ряд збігається, а ряд, складений з абсолютних величин, розбігається, то знакозмінний ряд називається неабсолютно збіжним (або умовно збіжним).

ТЕОРЕМА. Якщо ряд, складений із абсолютних величин членів даного ряду, збігається, то збігається і даний ряд.

Доведення. Позначимо через суму перших членів ряду (8.21)

через - суму всіх додатних членів, а через - суму абсолютних величин всіх від’ємних членів серед перших членів ряду.

Тоді і , (8.22)

де .

Оскільки згідно з умовою має границю, тобто , a і - додатні і зростаючі функції від , причому і , то і вони мають границі. А отже і при прямує до границі, що і потрібно було довести.

Це достатня ознака, але не є необхідною, тобто ряд може збігатися і тоді, коли ряд розбігається.

Приклад 1.Дослідити збіжність ряду

Розв’язування. Даний ряд називають рядом Лейбніца. Оскільки , то даний ряд збігається (згідно з ознакою Лейбніца). Ряд, складений із абсолютних величин є гармонічним, який, як відомо, розбіжний. Отже, даний ряд Лейбніца умовно збіжний.

Приклад 2.Дослідити збіжність ряду .

Розв’язування. Складемо ряд з абсолютних величин

Він збігається як ряд нескінченно спадної геометричної прогресії із знаменником Отже заданий ряд збігається абсолютно.

Поняття про степеневий ряд та його збіжність

Ряд, членами якого є функції змінної , називається

Функціональним.

Це ряд вигляду

(8.23)

Якщо набуває будь-якого числового значення, то ряд (8.23) стає числовим.

Сукупність всіх значень змінної , при яких функціональний ряд збігається, називається областю збіжності цього ряду. Будемо розглядати ряди, областями збіжності яких служать різні інтервали осі Ox.

Якщо для всякого значення із інтервалу функціональний ряд збігається, то його сума є функція

(8.24)

Інакше кажучи, функція в інтервалі розкладається в ряд.

Степеневим рядом називається функціональний ряд виг- ляду ,(8.25)

де - постійні числа.

Іноді розглядають степеневий ряд більш загального вигляду:

, (8.26)

де - деяке постійне число. Останній ряд легко приводиться до попереднього степеневого ряду, якщо перепозначити .

Доведемо досить важливу теорему на якій буде базуватися вивчення степеневих рядів.

ТЕОРЕМА Абеля. Якщо степеневий ряд (8.25) збігається в точці , то він збігається абсолютно в інтервалі , тобто при всякому , що задовольняє умові

Доведення. Із збіжності ряду (8.25) в точці випливає, що його загальний член при А тому всі члени цього ряду є обмежені, тобто існує таке постійне додатне число , що для всякого має місце нерівність

. (8.27)

Запишемо ряд (8.25) так:

(8.28)

і складемо ряд із абсолютних величин членів цього ряду:

(8.29)

В силу установленої нерівності (8.27) кожний член ряду (8.29) менший відповідного члена геометричної прогресії із знаменником

(8.30)

Якщо , то і ряд (8.30) збігається; а тому збігається і ряд абсолютних величин (8.29), а значить, абсолютно збігається сам ряд (8.25). Теорема доведена.

Наслідок. Якщо степеневий ряд (8.25) розбігається при , то він розбігається і при всякому більшому за абсолютною величиною, ніж , тобто при

Таким чином можна стверджувати, що для будь-якого степеневого ряду, який має як точки збіжності так і точки розбіжності, існує таке додатне число , що для всіх , по модулю менших ряд абсолютно збігається, а для всіх , по модулю більших ряд розбігається. Число називається радіусом збіжності степеневого ряду (8.25). Інтервал називається інтервалом збіжності. Якщо то інтервал збіжності вироджується в точку, а при - у всю числову вісь.

Для степеневих рядів (8.26) все сказане вище залишається в силі, лише з тією різницею, що тепер центр інтервалу збіжності буде лежати не в точці , а в точці . А отже, інтервалом збіжності буде

В наступній теоремі буде дано спосіб відшукання радіуса збіжності степеневого ряду.

ТЕОРЕМА . Якщо існує , то радіус збіжності степеневого ряду знаходиться за формулою

(8.31)

Доведення. Складемо ряд із абсолютних величин членів ряду (8.25): (8.32)

З попереднього параграфа відомо, що якщо збігається ряд (8.32), то збігається ряд (8.25) абсолютно. Припустивши, що , одержимо .

Згідно з ознакою Даламбера, ряд (8.32) збігається, якщо , тобто , якщо , і розбігається, якщо

Отже, степеневий ряд (8.25) збігається, для всіх тих значень , для яких , і розбігається для тих значень , для яких .

Таким чином, для ряду (8.25), радіус збіжності знаходиться за формулою

Приклад 1. Знайти інтервал збіжності степеневого ряду

і дослідити його збіжність на кінцях інтервалу.

Розв’язування. Тут , .

Знаходимо радіус збіжності ряду

Отже, ряд збігається в інтервалі . Щоб вирішити питання про збіжність степеневого ряду на кінцях інтервалу, покладемо спочатку х=2. Отримаємо гармонічний ряд який, як відомо, розбігається. При одержимо знакозмінний ряд Лейбніца: