ТЕОРЕМА 2. Степеневий ряд

Диференціювання та інтегрування степеневих рядів.

Розклад деяких функцій в степеневі ряди

Приведемо дві важливі теореми (без доведення).

ТЕОРЕМА 1. Степеневий ряд

(8.33)

І одержаний із нього почленним диференціюванням ряд

(8.34)

мають один і той же інтервал збіжності Сума ряду (8.34) дорівнює похідній суми ряду (8.33) при всіх значеннях , для яких .

ТЕОРЕМА 2. Степеневий ряд

(8.35)

і ряд (8.36)

одержаний із ряду (8.35) почленним інтегруванням, мають однаковий інтервал збіжності. Сума ряду (8.36) дорівнює де - сума ряду (8.35).

Для практики важливо вміти дану функцію розкласти в степеневий ряд, тобто функцію представити у вигляді степеневого ряду, що дає можливість досить просто обчислювати значення цієї функції.

Спочатку розглянемо деякі часткові випадки. Розглянемо степеневий ряд

. (8.37)

Цей ряд являє собою ряд геометричної прогресії із знаменником , який збіжний при і його сума рівна .

Отже, ми можемо записати:

(8.38)

На останню рівність можна дивитися як на розклад функції в степеневий ряд. Із розкладу (8.38) можна легко одержати інші розклади функцій.

Розклад функції .

Замінивши в розкладі (8.38) на , будемо мати:

. (8.39)

Якщо , то рівність (8.39), як було сказано в попередньому параграфі, можна проінтегрувати почленно по в межах від 0 до , тобто

Звідси маємо: , <1.

Такий розклад справедливий також для і відповідно ряд

є збіжним. Область збіжності буде множина .

Розклад функції

Покладемо в розкладі (8.38)

(8.40)

Помноживши останню рівність на і проінтегрувавши почленно в межах від 0 до , де одержимо:

або

Оскільки то маємо:

, якщо <1. (8.41)

Можна довести, що цей розклад є справедливим при і

При маємо: .

Отже, область збіжності даного степеневого ряду буде відрізок .

Ми бачимо, що деякі функції, як, наприклад , і тому подібні, допускають розклад в степеневий ряд відносно аргументу . Природно поставити загальне питання про розклад даної функції по зростаючим цілим додатнім степеням . Цим питанням ми займемось в наступному параграфі.

§ 9. Розклад функції в ряд Маклорена

Припустимо, що дана функція може бути розкладена в степеневий ряд , (8.42)

де - невизначені коефіцієнти, причому інтервал збіжності не зводиться до точки, тобто .

Як було сказано вище, степеневий ряд (8.42) в його інтервалі збіжності можна диференціювати почленно будь-яке число раз, причому всі одержані ряди будуть збігатися і їх суми будуть дорівнювати відповідним похідним від суми даного ряду

Продиференціювавши почленно ряд (8.42) раз , будемо мати:

Поклавши в цих рівностях, включаючи (8.42), х=0 одержимо:

;

Звідси .

Підставивши значення коефіцієнтів в (8.42), одержимо формулу Маклорена:

, (8.43)

де ( ) – залишковий член у формі Лагранжа. Число можна записати у вигляді ,

Якщо при необмеженому зростанні n, тобто при

(8.44)

то із формули Маклорена одержимо розклад функції в ряд по степенях , який називається рядом Маклорена:

(8.45)

А умова (8.44) являє собою необхідну і достатню умову того, що ряд Маклорена для функції , яка диференційована необмежене число разів, збігається до цієї функції.

Приведемо приклади на застосування ряду Маклорена до розкладу деяких елементарних функцій в степеневі ряди.

Розклад функції

Нехай Тоді …

Поклавши , одержимо:

…

Підставивши ці значення в формулу Маклорена (8.43) , будемо мати:

де .

Оскільки - величина обмежена при обмеженому то, для того, щоб довести, що , потрібно показати,що . Для того зафіксуємо і розглянемо ряд

Якщо він збігається, то його загальний член при прямує до нуля. Використаємо ознаку Даламбера до ряду абсолютних величин:

Отже, .

Таким чином і функція розкладається в інтервалі в слідуючий ряд Маклорена

(8.46)

Розклад функцій ,

Нехай ; звідси

, , , ,…

Поклавши х=0, маємо :

…

Підставивши ці значення у формулу (8.45), одержимо:

. (8.47)

Можна легко переконатися, що ряд збігається для будь-якого

Зробивши аналогічні викладки, можна знайти розклад функції в ряд:

для (8.48).

Розклад бінома Ньютона

Нехай , де число ціле або дробове, додатне або від’ємне.

Тоді маємо:

…….…………………………………………

………….……………………………………………………

Поклавши у всіх цих формулах, одержимо:

Підставивши вирази для в ряд Маклорена (8.45) будемо мати

(8.49)

Користуючись формулою , знайдемо інтервал збіжності ряду (8.49).

Ми маємо:

Звідси , і відповідно

(8.50)

Таким чином, біноміальний ряд збігається для і розбігається зовні. Чи збігається цей ряд в точках і , необхідно досліджувати для кожного випадку окремо.

§10. Розклад функції в ряд Тейлора

В деяких випадках функція або її похідні втрачають зміст в точці , як, наприклад або .

Такі функції не можуть бути розкладені в ряд Маклорена. Для розкладу такого роду функцій можна скористатись більш загальними степеневими рядами, розкладеними за степенями де підібране, в конкретному випадку, постійне число.

В розділі 4 було доведено, що якщо функція диференційована раз в інтервалі ,то має місце формула Тейлора:

(8.51)

де ( ) – залишковий член у формі Лагранжа. Число с можна записати у вигляді , де .

Якщо при необмеженому зростанні , тобто при ,

(8.52)

то із формули Тейлора одержимо розклад функції в ряд по степенях , який називається рядом Тейлора:

(8.53)

Умова (8.52) служить необхідною і достатньою умовою того, що ряд Тейлора для функції, яка необмежене число раз диференційована, збігається до цієї функції.

Приклад. Розкласти в ряд за степенями функцію

Розв’язування. Продиференціюємо функцію : Підставивши в попередні формули, одержимо: Використовуючи ряд Тейлора (8.53), одержимо такий розклад функції по степенях :

Знаходимо радіус збіжності даного ряду: . Тут

. при будь-якому

Отже, область збіжності ряду буде

§11. Застосування степеневих рядів до

наближених обчислень

Одержані розклади деяких функцій в степеневі ряди в §10,11 дають можливість наближено обчислювати значення функції, визначені інтеграли, границі функції і т.д.

Приклад 1. Обчислити , обмежившись двома членами розкладу.

Розв’язування. Використаємо формулу розкладу в ряд за зростаючими степенями : .

Переведемо в радіанну міру:

Тоді . Підставивши замість одержимо

Приклад 2. Обчислити число .

Розв’язування. Використаємо розклад функції в ряд Маклорена:

Поклавши , одержимо . Якщо за наближене значення числа взяти суму перших семи членів цього ряду то одержимо

Приклад 3. Обчислити з точністю до 0,001.

Розв’язування. Використаємо формулу біноміального ряду

Якщо , то одержимо

Оскільки в знакопереміжному ряді із спадними по абсолютній величині членами то похибка в наших обчисленнях не перевищує 0,0008, що забезпечує необхідну точність.

Приклад 4. Обчислити обмежившись двома членами розкладу.

Розв'язування. Запишемо число у вигляді

У нашому випадку , поклавши в біноміальному ряді матимемо

Приклад 5. Обчислити , обмежившись трьома членами розкладу.

Розв'язування. Число представимо так:,

Поклавши у фор- мулі значення , одержимо

Тоді

Приклад 6. Обчислити визначений інтеграл обмежившись чотирма членами розкладу функції

Розв’язування. Оскільки невизначений інтеграл не може бути виражений в елементарних функціях і формулу Ньютона-Лейбніца не можна використати, даний інтеграл обчислимо наближено, використовуючи теорію рядів. Розділимо праву частину розкладу функції в ряд