Признаки сравнения рядов
Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим (“эталонным”) рядом, о котором известно, сходится он или нет. В качестве “эталонного” ряда может выступать один из следующих рядов: 1)обобщенный гармонический ряд ( ), который сходится при и расходится при . 2) ряд геометрической прогрессии ( ),который сходится при и расходится при . Теорема(первый признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда (1) и (2). Если для всех n выполняется неравенство (3), то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1); из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2). Замечание.Теорема справедлива и в том случае, когда неравенство (3) выполняется не для всех номеров n, а начиная с некоторого номера N. Теорема(второй признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда (1) и (2), причем сходимость или расходимость одного из них известна. Если существует конечный и отличный от нуля предел ( ), то ряды (1) и (2) одновременно сходятся или одновременно расходятся. Пример 13.1. Исследовать сходимость ряда . □Решение. Применим первый признак сравнения.Сравним данный ряд с “эталонным” рядом – рядом геометрической прогрессии , который сходится, т. к. . Общий член данного ряда не превосходит общего члена , т. е. . Следовательно, исходный ряд тоже сходится.■ Пример 13.2. Исследовать на сходимость ряд . □Решение. Применим второй признак сравнения.Сравним данный ряд с “эталонным” рядом – обобщенным гармоническим рядом , который расходится, т. к. . Вычислим предел . Так как предел конечен и отличен от нуля, то исходный ряд тоже расходится.■ Пример 13.3. Исследовать на сходимость ряд . □Решение. Применим второй признак сравнения.Сравним данный ряд с “эталонным” рядом – обобщенным гармоническим рядом , который сходится, т. к. . Вычислим предел . Так как предел конечен и отличен от нуля, то исходный ряд тоже сходится.■
Признак Даламбера Теорема(признак Даламбера). Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел , то Замечание. Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида или . Пример 13.4.Исследовать на сходимость ряд . □Решение. Применим признак Даламбера. Имеем , . Вычислим предел , следовательно, ряд сходится.■ Пример 13.5.Исследовать на сходимость ряд . □Решение. Применим признак Даламбера. Имеем , . Вычислим предел , следовательно, ряд сходится.■ Пример 13.6.Исследовать на сходимость ряд . □Решение. Применим признак Даламбера. Имеем , . Вычислим предел , следовательно, нужно применить другой признак. Применим достаточное условие расходимости ряда. , следовательно, ряд расходится.■
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|