Знакочередующиеся ряды. Исследование на сходимость

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 6Следующая ⇒

Определение. Знакочередующимся рядомназывается ряд вида

где для всех , т. е. ряд, в котором положительные и отрицательные члены чередуются.

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости Лейбница.

Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если выполняются следующие два условия:

1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т. е. ;

2. Общий член ряда по абсолютной величине стремится к нулю: .

При этом сумма ряда удовлетворяет неравенствам .

Если хотя бы одно из условий не выполняется, то знакочередующийся ряд расходится.

Замечание.Теорема Лейбница справедлива, если условие 1) выполняется, начиная только с некоторого номера .

Замечание. Исследование на сходимость знакочередующегося ряда , начинающегося с отрицательного числа, проводится также по признаку Лейбница.

Пример 14.1.Исследовать на сходимость ряд .

□Решение. Применим признак Лейбница. Здесь .

1. , ,

, ,….

– условие 1: не выполняется. Следовательно, второе условие проверять нет необходимости. Если хотя бы одно из условий не выполняется, то знакочередующийся ряд расходится.■

Пример 14.2.Исследовать на сходимость ряд .

□Решение. Применим признак Лейбница. Здесь .

1. , , ,…

– условие 1: выполняется.

2. – условие 2: выполняется.

Следовательно, ряд сходится.■

14.2. Абсолютная и условная сходимость знакочередующихся рядов

Сходящийся знакочередующийся ряд , где для всех имеет два вида сходимости: абсолютную и условную.

Определение.Знакочередующийся ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Определение.Знакочередующийся ряд называется условно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Если знакочередующийся ряд имеет вид , то ряд, составленный из модулей его членов – числовой ряд с положительными членами.

Свойство.Если знакочередующийся ряд сходится абсолютно и имеет сумму , то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму , что и исходный.

Свойство.Переставляя члены условно сходящегося ряда, можно добиться того, что сумма ряда изменится или получится вообще расходящийся ряд.

Пример 14.3.Исследовать на сходимость ряд .

□Решение. Применим признак Лейбница. Здесь .

1. , , , ,….

– условие 1: выполняется.

2. – условие 2: выполняется.

Следовательно, ряд сходится. Выясним характер сходимости, т. е. как сходится: условно или абсолютно. Для этого составим ряд из модулей его членов.

– числовой ряд с положительными членами, являющийся обобщенным гармоническим рядом вида . Известно, что он сходится при и расходится при . Здесь ,следовательно, ряд сходится. В итоге, исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.■