 |
|
Приближенное вычисление значений функций с помощью рядов
Пример 16.3.Вычислить значение 
с точностью до 0,001
□Решение. Известно разложение в ряд функции 
(16.4):
, 
.
Принимая в этом разложении 
, получаем:
.
Каждое слагаемое мы вычисляем с точностью до 0,0001 (т. е. с одним запасным знаком), чтобы при суммировании не получить погрешность, превышающую 0,001.
При округлении чисел используют следующее правило дополнения:
Правило дополнения при округлении чисел: 1) Если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не меняется; 2) Если первая отбрасываемая цифра больше или равна 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1.
Затем для достижения результата с заданной степенью точности 0,001 отбрасываем слагаемые, которые по абсолютной величине меньше точности 0,001.
Четвертый член 
по абсолютной величине равен 
и это число меньше 0,001, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. Итак,
.
В окончательном результате запасной знак отбрасываем: 
.■
Упражнения для самостоятельной работы
Вычислить приближенно значение с заданной степенью точности 
:
а) 
, 
; б) 
, 
;
в) 
, 
; г) 
, ;
Ряды Фурье
Определение. Функция 
удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке 
, если она на этом отрезке:
1) кусочно-непрерывна, т. е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода;
2) кусочно-монотонна, т. е. монотонна на всем отрезке , либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна;
3) во всех точках отрезка 
, т. е. равна среднему арифметическому пределов функции справа и слева.
Если функция задана на отрезке , то при выполнении на этом отрезке условий Дирихле указанная функция может быть представлена в виде ряда Фурье.
В рассматриваемых в §17 примерах функции будут заведомо удовлетворять условиям Дирихле, поэтому проверять это нет необходимости.