Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах

Определение. Функция , определенная на множестве , называется четной, если для любого выполняются условия и ;нечетной, если для любого выполняются условия и .

Например:

функция – четная, т. к. ;

функция – нечетная, т. к. .

График четной функции симметричен относительно оси , а нечетной – относительно начала координат.

Пример 17.1. Установить четность или нечетность функций:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

□Решение. В рассматриваемых примерах область каждой из функций симметрична относительно нуля: .

1) Заменяя на , получим

т. е. . Значит, данная функция является четной.

2) Заменяя на , получим

т. е. и . Значит, данная функция не является ни четной, ни нечетной.

3) Заменяя на , получим

т. е. . Значит, данная функция является четной.

4) Заменяя на , получим

т. е. . Значит, данная функция является нечетной.

5) Заменяя на , получим

т. е. . Значит, данная функция является четной.

6) Заменяя на , получим

т. е. . Значит, данная функция является нечетной.■

Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке , симметричном относительно точки , упрощается при использовании следующих свойств:

Если – нечетная функция, то . (17.1)

Если – четная функция, то . (17.2)

Благодаря свойствам (17.1) и (17.2) можно, например, сразу, не производя вычислений, сказать, что

, , .

17.2. Разложение в ряд Фурье -периодических функций

Определение.Функция , определенная на множестве , называется периодической с периодом , если при каждом значение и выполняется равенство .

Если – период функции, то ее периодами будут также числа , где Так, для функций и периодами будут числа Основной период (наименьший положительный) – это период .

Для построения графика периодической функции периода достаточно построить его на любом отрезке длины и периодически продолжить его во всю область определения.

Определение. Рядом Фурье (тригонометрическим рядом) периодической функции с периодом , определённой на сегменте , называется ряд вида

, (17.3)

где действительные числа , , называются коэффициентами ряда Фурье.

Коэффициенты ряда (17.3) определяются по формулам

, , . (17.4)

Пример 17.2.Разложить в ряд Фурье на промежутке периодическую с периодом функцию .

□Решение. Проверим функцию на четность, нечетность. Заменяя на , получим

т. е. и . Значит, данная функция не является ни четной, ни нечетной.

Найдем коэффициенты , , и по формулам (17.4):

;

Следовательно, на промежутке исходной функции соответствует ряд Фурье(17.3) вида .■

17.3. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций на отрезке

Если разлагаемая на отрезке в ряд Фурье функция является четной или нечетной, то это отражается на формулах коэффициентов Фурье (вычисление их упрощается) и на виде самого ряда (он становится неполным).

Если периодическая функция с периодом , определённая на отрезке , является четной, то ее ряд Фурье имеет вид

, (17.5)

где коэффициенты и ( ) определяются по формулам

, , . (17.6)

Если периодическая функция с периодом , определенная на сегменте , является нечетной, то ее ряд Фурье имеет вид

, (17.7)

где коэффициент ( , ) определяется по формуле

. (17.8).

Пример 17.3.Разложить в ряд Фурье на промежутке периодическую с периодом функцию .

□Решение. Проверим функцию на четность, нечетность. Заменяя на , получим

т. е. . Значит, данная функция является четной. Следовательно, , .

Найдем коэффициенты и по формулам (17.6):

;

Следовательно, на промежутке исходной функции соответствует ряд Фурье(17.5) .■

Пример 17.4.Разложить в ряд Фурье на промежутке периодическую с периодом функцию .

□Решение: Проверим функцию на четность, нечетность. Заменяя на , получим

т. е. . Значит, данная функция является нечетной. Следовательно, , , .

Найдем коэффициент по формуле (17.8):

Следовательно, на промежутке исходной функции соответствует ряд Фурье (17.7) .■

17.4. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода

Определение. Рядом Фурье периодической функции с периодом , определённой на сегменте называется ряд вида

, (17.9)

где действительные числа , , называются коэффициентами ряда Фурье.

Коэффициенты ряда (17.9) определяются по формулам

. (17.10)

Пример 17.5. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию заданную на интервале-периоде .

□Решение.

Поскольку функция

является кусочно-заданной, то для проверки ее на четность, нечетность лучше воспользоваться графиком этой функции (см. рис. 17.1). По чертежу видно, что для произвольной точки