 |
|
Признаки сравнения рядов.
Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.
Теорема1.
Пусть даны два знакоположительных ряда
и
Если для всех n выполняется неравенство
,
то из сходимости ряда следует сходимость ряда , из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Обозначим n-е частичные суммы рядов и соответственно через 
и 
. Из неравенства следует, что
Пусть ряд сходится и его сумма равна 
. Тогда 
. Члены ряда положительны, поэтому 
и, следовательно, с учетом неравенства 
. таким образом, последовательность 
( 
) монотонно возрастает ( ) и ограничена сверху числом . По признаку существования предела последовательность 
имеет предел 
, т.е. ряд сходится.
Пусть теперь ряд расходится. Так как члены ряда неотрицательны, в этом случае имеем 
. Тогда с учетом неравенства получаем 
, т.е. ряд расходится.
Теорема2(предельный признак сравнения)
Пусть даны два знакоположительных ряда и . Если существует конечный, отличный от 0, предел 
, то ряды сходятся или расходятся одновременно.
По определению предела последовательности для всех n, кроме, возможно, конечного числа их, для любого 
выполняется неравенство 
, или 
.
Если ряд сходится, то из левого неравенства и теоремы1 вытекает, что ряд 
также сходится. Но тогда, согласно свойству1 числовых рядов, ряд сходится.
Если ряд расходится, то из правого неравенства , теоремы1, свойства 1 вытекает, что ряд расходится.
Аналогично, если ряд сходится (расходится), то сходящимся (расходящимся) будет и ряд .
Признак Даламбера
В отличии от признаков сравнения признак Даламбера позволяет часто решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.
Теорема
Пусть дан ряд 
с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел 
.
Тогда ряд сходится при l<1 и расходится при l>1.
Так как , то по определению предела для любого найдется натуральное число N такое, что при n>N выполняется неравенство
или 
.
Пусть l<1. Можно подобрать 
так, что число 
, 
. Обозначим , . Тогда из правой части неравенства получаем 
, или 
. В силу свойства 3 числовых рядов можно считать, что для всех n=1, 2, 3,… Давая номеру n эти значения, получим серию неравенств:
т.е. члены ряда 
меньше соответствующих членов ряда 
, который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем 0<q<1. Но тогда, на основании признака сравнения, сходится ряд , следовательно, сходится и исходный ряд .
Пусть l>1. В этом случае 
. Отсюда следует, что начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство 
, или 
, т.е. члены ряда возрастают с увеличением номера n. Поэтому 
. На основании следствия из необходимого признака ряд расходится.
Если l=1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.