Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
Для разложения функции в ряд Маклорена нужно: А) найти производные , ,…, ,..; Б) вычислить значения производных в точке ; В) написать ряд для заданной функции и найти его интервал сходимости; Ґ) найти интервал (-R;R), в котором остаточный член ряда Маклорена при . Если такой интервал существует, то в нем функция и сумма ряда Маклорена совпадают.
Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:
Докажем формулу.
Пусть
Имеем: А) Б) В) , т.е. ряд сходится в интервале ; Ґ) для всех имеем , т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом . Следовательно, . Таким образом, .
Докажем формулу.
Пусть f(x)=sin x
Имеем: А)
Б) В) Легко проверить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т.е. при всех Ґ) любая производная функция f(x)=sin x по модулю не превосходит единицы, . Следовательно, имеет место разложение f(x)=sin x.
Докажем формулу
Пусть f(x)=cos x
Формулу f(x)=cos x можно доказать так же, как и формулу f(x)=sin x. Однако проще получить разложение функции cos x, воспользовавшись свойством 3 степенных рядов. Продифференцировав почленно ряд f(x)=sin x, получим:
Докажем формулу
Пусть ,
Имеем: А)
Б) В) Ґ) , т.е. составленный для функции ряд сходится в интервале (-1;1), остаточный член стремится к нулю при .
Ряд называется биномиальным. Если , то все члены ряда с (n+1)-го номера равны 0, так как содержат множитель . В этом случае ряд представляет собой известную формулу бинома Ньютона:
Докажем формулу
Пусть
Формула может быть получена разными способами: 1)пользуясь правилом разложения функции в ряд; 2)рассматривая ряд как ряд геометрической прогрессии, первый член которой равен 1 и знаменатель q=x; известно, что данный ряд сходится при и его сумма равна 3)воспользовавшись формулой : положив в ней и заменив х на –х, получим формулу .
Докажем формулу
Пусть f(x)=ln (1+x)
Формула f(x)=ln (1+x) также может быть доказана разными способами. Приведем один из них.
Рассмотрим равенство , справедливое для всех . Используя свойство 4 степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке [0;x], : или
Докажем формулу
Пусть f(x)=arctg x
Положив в формуле и заменив х на , получим равенство
Тогда или
Докажем формулу
Пусть f(x)=arcsin x
Положив в формуле и заменив х на , получим равенство Тогда или
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|