Признаки сравнения.
Теорема 2.2 (1-й признак сравнения). Если для двух рядов с положительными членами u1 + u2 +…+ un +… (2.2) и v1 + v2 +…+ vn +… (2.3) выполнено условие un ≤ vn, то: а) если ряд (2.3) сходится, то сходится и ряд (2.2); б) если ряд (2.2) расходится, то расходится и ряд (2.3).
Доказательство. Пусть частичная сумма ряда (2.2) , частичная сумма ряда (2.3) . Из условия теоремы следует, что sn ≤ σn . Пусть Ряд (2.3) сходится. Тогда существует конечный предел его частичных сумм: Но sn ≤ σn < σ, то есть последовательность частичных сумм ряда (2.2) ограничена сверху. Следовательно, по теореме (1.6) ряд (2.2) сходится. Теперь предположим, что ряд (2.2) расходится . Тогда σn ≥ sn , значит, , то есть ряд (2.3) тоже расходится. Теорема доказана.
Следствие. Условие un ≤ vn может выполняться начиная не обязательно с п = 1. Утверждение теоремы справедливо, если это условие выполняется для всех п, больших некоторого N (см. теорему 1.1).
Пример. Исследуем на сходимость ряд , сравнив его с рядом . Этот ряд сходится, так как последовательность его членов представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем , сумма которой равна . При любом n > 1 n∙ 2n > 2n, следовательно, , поэтому по теореме 2.2 исследуемый ряд сходится.
Теорема 2.3 (2-й признак сравнения). Если для рядов (2.2) и (2.3) выполнено условие то ряды (2.2) и (2.3) сходятся и расходятся одновременно. Доказательство. Выберем число N такое, что для всех n > N выполняется неравенство Тогда un < (A + 1)vn. Если ряд сходится, то по теореме 1.2 сходится и ряд , следовательно, по теореме 2.2 сходится ряд . Наоборот, из расходимости ряда следует при этом расходимость . Теперь выберем число А такое, что 0 < A < A, и зададим номер N, при котором при любом n > N. Отсюда un > Avn , и, проводя рассуждения, аналогичные предыдущим, можно показать, что из сходимости следует сходимость , а из расходимости - расходимость . Теорема доказана полностью.
Следствие. При применении 2-го признака сравнения удобно брать в качестве ряда, с которым сравнивается данный ряд, ряд вида (см. пример в начале лекции). Напомним еще раз, что такой ряд сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1.
Пример. Общий член ряда можно представить в виде (разделив числитель и знаменатель на х). Теперь очевидно, что . Поскольку ряд сходится (так как α = 2 >1), сходится (по теореме 2.3) и исходный ряд.
Признак Даламбера. Теорема 2.4. Если для ряда , un > 0, существует предел , то при l < 1 ряд сходится, а при l > 1 расходится. Доказательство. а) Пусть l < 1. Выберем число q так, чтоl < q < 1. Тогда можно найти такой номер N, что для всех n > N выполняется неравенство следовательно, un < qun-1. Применяя это неравенство для n = N + 1, n = N + 2 и т.д., получим: Ряд сходится (как геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим 1), поэтому по теореме 2.2 сходится и ряд , а следовательно, и ряд (по теореме 1.1). б) Пусть теперь l > 1, тогда для всех п, больших некоторого N, следовательно, un > un-1 . C учетом знакоположительности ряда из этого следует, что то есть ряд расходится (не выполнено необходимое условие сходимости).
Замечание. При l = 1 признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда (ряд в этом случае может и сходиться, и расходиться).
Пример. Применим признак Даламбера к исследованию сходимости ряда . , следовательно, ряд сходится (учитываем, что (п + 1)! = п!(п + 1) ).
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|