 |
|
Примеры решения задач по квантовой физике
Задача 1. Найти длину волны де Бройля для электрона, кинетическая энергия которого равна:
1) 10 кэВ, 2) 1 МэВ.
| Дано: | 
|
| Найти: | 
|
Решение: Длина волны де Бройля связана с импульсом:
где 
- постоянная Планка;
р - импульс частицы.
Импульс частицы зависит от ее скорости. Если скорость движения частицы много меньше скорости света в вакууме (v<<c), то это случай нерелятивистский. Если скорость движения частицы соизмерима со скоростью света в вакууме, то это случай релятивистский. Импульс частицы связан с энергией. Поэтому, чтобы выяснить, какой это случай, вычислим энергию покоя частицы и сравним ее с энергией движущейся частицы. Вычислим энергию покоя электрона:
Сравним кинетическую энергию электрона с энергией покоя E0 . В первом случае W1<<E0, значит это случай нерелятивистский и импульс равен: p = mv. Импульс связан с кинетической энергией соотношением:
Отсюда: 
Тогда:
Во втором случае 
, значит это случай релятивистский. Импульс равен: 
, где с - скорость света. Тогда:
Ответ: 
, 
Задача 2. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной l на втором энергетическом уровне. В каких точках ямы плотность вероятности обнаружения частицы совпадает с классической плотностью вероятности?
| Дано: | 
|
| Найти: | x. |
Решение: Волновая функция ψ, описывающая состояние частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной l, имеет вид:
(1)
где n - номер энергетического уровня (n = 1,2,3...),
х - координата частицы в яме (0 ≤ х ≤ l).
Согласно физическому смыслу волновой функции:
(2)
где w - плотность вероятности обнаружения частицы в точке с координатой х.
Если частица находится на втором энергетическом уровне (n = 2), т.е.:
(3)
Выражение для классической плотности вероятности имеет вид:
(4)
Приравнивая по условию выражения (3) к (4), получим:
(5)
Решая уравнение (5), найдем:
В пределах ямы (0 ≤ х ≤ l) таких точек четыре:
Ответ:
Задача 3. Некоторый примесный полупроводник имеет решетку типа алмаза и обладает только дырочной проводимостью. Определить концентрацию дырок nр и их подвижность uр, если постоянная Холла Rх = 3,8·10-4 м3/Кл. Удельная проводимость полупроводника σ =110 (Ом·м)-1.
| Дано: | 
|
| Найти: | nр, uр. |
Решение: Концентрация дырок nр связана с постоянной Холла, которая для полупроводников с решеткой типа алмаза, обладающих носителями только одного знака, выражается формулой:
(1)
где е - элементарный заряд.
Отсюда:
(2)
Подставим числовые значения величин в формулу (2) и проведем вычисления:
Удельная проводимость полупроводников выражается формулой:
(3)
где nn и np - концентрации электронов и дырок,
un и up - их подвижности.
При отсутствии электронной проводимости первое слагаемое в скобках равно нулю, и формула (3) примет вид:
Отсюда искомая подвижность:
(4)
Подставим в (4) выражение nр, описываемое формулой (2):
(5)
Подставим в (5) численные значения и проведем вычисления:
Ответ: 
, 