 |
|
Функциональные последовательности и ряды
Числовые ряды.
1º. Основные понятия.
Пусть {z k} - некоторая последовательность чисел, вообще говоря, комп- лексных . Рассмотрим последовательность {S n}, где S 1 = z 1 , а при любом натуральном n > 1 S n = z 1 + z 2 + … + z n . Последовательность {S n} мо -жет оказаться либо сходящейся, либо расходящейся.
Пусть последовательность {S n} сходится, а S есть ее предел: lim S n = S . Будем говорить в этом случае, что числовой ряд
z 1 + z 2 + … + z k + … ( 1 )
сходится, а число S назовем суммой этого ряда. Члены последовательности {z k} назовем членами ряда (1) ; S n назовем его n – ой частичной суммой .
Замечание. Хотя число S и называют суммой, на самом деле оно не явля- ется суммой в привычном понимании этого термина, согласно которому сумма - это результат сложения некоторого конечного количества слагаемых. Суммой является. например, всякий член последовательности {S n}, начиная с S 2 . Но сложить бесконечное множество членов ряда невозможно, и число S представляет собой результат другого математического действия – преде- льного перехода, примененного к последовательности сумм {S n}.
Для обозначения ряда (1) мы обычно будем пользоваться символом 
, а также упрощенным символом 
. В этих символах z k называют общим членом ряда. Если ряд сходится, а S является его суммой, т.е. если lim Sn = S, будем записывать: = S.
В случае, когда последовательность {S n} расходится, будем говорить, что ряд (1) расходится; суммы такой ряд не имеет. Однако, если S n → + ∞ или S n → - ∞ , принято говорить. что сумма расходящегося ряда (1) равна + ∞ или - ∞ соответственно.
Пример 1. Пусть q – некоторое комплексное число; положим при вском натуральном k z k = q 
и рассмотрим ряд = 1 + q + q 
+…+ q 
+ ... ( его члены образуют геометрическую прогрессию). Имеем: S n = 1 + q + q + … + q 
= 
. Если |q| < 1, то 
→ 0 и, значит, S n 
; если же |q | > 1, то q 
→ ∞ и , следовательно, S n 
. Итак, при |q| < 1 рассматриваемый
ряд сходится, его сумма равна 
; при |q | > 1 ряд расходится.
Пример 2. Рассмотрим ряд 
. Здесь z k = 
, Sn = = 
= 
ln2 + ( ln3 – ln2) + (ln4 – ln3) + … + ( ln n – ln(n-1)) + + ( ln(n+1) – ln n ) = ln (n+1). Очевидно, S n→ +∞ . Значит, ряд расходится, его сумма равна + ∞.
Пример 3. Пусть z k =(-1) 
, S n = 
1 – 1 + … …+ (-1) 
. При четных n эта сумма равна нулю, а при нечетных – единице ; значит, последовательность {S n} частичных сумм ряда не имеет предела, ни конечного, ни бесконечного. Ряд расходится.
2˚. Общие свойства числовых рядов
1. ( Критерий сходимости Коши) Для того, чтобы числовой ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого положительного ε можно было указать натуральное n ε такое,что при всех натуральных n > n ε и любых натуральных р справедливо неравенство 
.
► Сходимость числового ряда означает сходимость последовательности {S n} его частичных сумм. Напомним формулировку критерия Коши сходимости последовательности : для того, чтобы последовательность {S n} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы
.
Не ограничивая общности можно считать, что m > n , т.е. что m = n + p , где р - некоторое натуральное число. Если n > n ε, то подавно n + p > n ε , поэтому написанную выше строчку можно заменить следующей, ей равно- сильной :
.
Заметим : 
; Таким образом, из критерия Коши для последовательности {S n} вытекает: ряд сходится тогда и только тогда, когда
,
что и требовалось доказать. ◄
Приведем пример применения критерия Коши.
Пример 4, Ряд 
называют гармоническим рядом. Покажем, что это расходящийся ряд. Пусть n - некоторое натуральное число; а p = n +2 . Рассмотрим 
В этой сумме n +2 слагаемых, причем 
- наименьшее из них ; поэтому 
Здесь n - любое натуральное число. Зададим ε, удовлетворяющее неравенствам 0 < ε < ½ . Тогда при всяком натуральном n и p = n +2 будет выполнено 
, а это означает, что для такого ε нельзя указать n ε , которое удовлетвори- ло бы требованию критерия сходимости Коши . Значит, ряд расходится. ◄
2. ( Необходимое условие сходимости ) Если ряд .сходится, то его общий член стремится к нулю : z k → 0 .
► Пусть S n = . Обозначим сумму ряда через S : S n → S. При всяком n ≥2 , очевидно, z n = S n - S n -1 . Перейдем в этом равенстве к пределу ; так как последовательности 
имеют один и тот же предел S , получим : z n → 0. ◄
Замечание. Обратное утверждение (если z k → 0 , то сходится ) неверно. Действительно, для гармонического ряда имеем z k → 0 , однако ряд расходится. Можно указать еще и на ряд , рассмотренный выше (см. пример 2 ): его общий член,очевидно, стремится к нулю, но ряд расходится.
3. ( Достаточное условие расходимости ) Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.
► Действительно, если общий член ряда не стремится к нулю, ряд не может оказаться сходящимся, так как общий член сходящегося ряда обязательно стремится к нулю. ◄
Пример 5. Выше ( см. пример 1) мы показали, что ряд 
сходится, если |q| < 1 и расходится, если |q| > 1. Рассмотрим случай |q| = 1. Имеем : 
при всяком натуральном k, поэтому последовательность 
заведомо не стремится к нулю; значит. при любом комплексном q, |q| = 1, рассматриваемый ряд расходится.
4. ( Умножение числа на ряд) Пусть заданы ряд и некоторое отличное от нуля число λ , вообще говоря , комплексное. Произведением числа λ на ряд называют ряд 
, где wk = λzk . Справаедливы утверждения: 1) ряды и 
либо оба сходятся, либо оба расходятся ; 2) если = S, то = λ S.
► Пусть n - некоторое натуральное число. Обозначим : 
. Очевидно, 
.Отсюда и из теоремы об арифметических действиях со сходящимися последовательностями ( [3], п. 3.5) вытекает : 1) последовательности частичных сумм 
либо обе сходятся, либо обе расходятся ; 2 ) если 
◄
5. ( Сложение рядав ) Ряд 
называют суммой рядов 
и 
. Справедливы утверждения: 1) пусть ряды 
сходятся, причем 
; тогда сходится и , причем = 
; 2) если один из рядов 
сходится, а другой расходится, то ряд расходится.
► Обозначим : 
Очевидно, 
. Из теоремы об арифметических действиях со сходящимися последовательностями следует : 1) если последовательности частичных сумм 
сходятся, 
то сходится и их сумма - последовательность 
, причем Sn → →S’+S”; 2) если одна из последовательностей сходится , а другая расходится, то не может быть сходящейся последовательностью, значит, ряд расходится. ◄
Замечание. Если оба ряда расходятся, то их сумма, т.е. ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся рядом. На- пример, положим 
Тогда ряды расходятся ( см. пример 4) , а ряд сходится, так как каждый его член равен нулю.
6. Пусть задан ряд , а m - некоторое натуральное число . Ряд 
, где wl = = zm+l , т.е. ряд zm+1+zm+2+ …+ zm+l + … = 
, называют остатком ряда . Справедливо утверждение: ряд и его остаток либо оба сходятся, либо оба расходятся.
► Очевидно, при любом натуральном p 
т.е. 
где А = = 
. Ввиду такой связи между последовательностями частичных сумм 
очевидно, что если сходится одна из них, то сходится и другая; если одна из них расходится, то другая не может быть сходящейся. ◄
7. Пусть 
и 
- последовательности вещественных чисел . Обозначим : zk = xk + i yk , Sn= 
. Если ряды , 
сходятся, то их суммы обозначаем через S , 
и 
соответственно. Справедливы утверждения: 1) ряд сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба ряда ; 2) если сходится, то S = + i .
► Заметим : Sn = S 
+ i S 
. Утверждения 1) и 2) вытекают непосредственно из свойств последовательностей комплексных чисел. ◄
3º. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
Ряды находят разнообразные применения в прикладной математике. Имея дело с числовым рядом,прежде всего следует выяснить, сходится ли этот ряд. Выяснить это часто удается с помощью свойств, описанных в предыдущем пункте ( например, если общий член не стремится к нулю, то ряд расходится). Если указанных средств оказалось недостаточно, обращаются к признакам сходимости и расходимости рядов, наиболее употребительные из которых составляют содержание этого и следующего пунктов.
В этом пункте мы рассматриваем числовые ряды 
члены которых неотрицательны. Обозначим через Sn частичную сумму такого ряда.: S n = = 
.Так как a k ≥ 0, то S n ≤ S n +1, т.е. {S n } - монотонная неубывающая последовательность. Если эта последовательность ограничена сверху, она сходится, в противном случае она стремится к + ∞ ([3], п.3.6 ). Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 1.( Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами) Для того, чтобы ряд a k ≥ 0, сходился, необходимо и достаточно, что- бы последовательность его частичных сумм {S n } была ограничена сверху .
Пусть f - некоторая функция, определенная на промежутке [ 1, +∞). Обозначим : a k= f(k) , где k 
, и рассмотрим числовой ряд 
. Будем называть f производящей функцией для числового ряда . Например, f (x) = 
является производящей функцией для гармонического ряда 
, так как при всех натуральных k f (k) = 
. Если производящая функция неотрицательна на [1, +∞), то - ряд с неотрицатеьными членами.
Теорема 2.(Интегральный признак Коши) Пусть производящая функция f числового ряда непрерывна, неотрицательна и монотонно не возрастает на промежутке [1;+∞). Для того, чтобы ряд 
был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл 
.
► Напомним: по определению = 
, где F(x) = 
; интеграл сходится, если предел конечен, и расходится в противном случае, т.е. если этот предел равен ∞ или не существует ( [4], п. 2.1). По условию теоремы f (x) неотрицательна на [1, +∞) , поэтому F(x) моно -тонно не убывает [ 1,∞) ; следовательно, конечен тогда и только тог- да, когда F(x) ограничена на [ 1, +∞) сверху. Отметим еще, что если интег- рал сходится, то F(x) ≤ при всех х 
1.
Пусть k – натуральное число. Так как f (x) - монотонная невозрастающая функция, то 
т.е. 
при 
Интегрируя последние неравенства, получим: 
, т.е. 
. Отсюда: 
, т.е.
N Sn –an ≥ 
≥ Sn –a1 (2)
Необходимость. Пусть сходится, а S – его сумма : lim Sn = S, где 
. Так как 
, то {Sn} – неубывающая последовательность, и при всяком натуральном n Sn ≤ Sn+1 ≤ S. Из (2) имеем: N ≤ Sn –- an , и так как Sn ≤ S , то при всех натуральных n справедливо F(n) ≤ S. Отсюда вытекает: функция F ограничена на [1;+∞) cверху числом S; следователь- но (см. выше), интеграл сходится.
Достаточность. Пусть интеграл сходится. Так как F(x) ≤ , то из (2) имеем: при всех натуральных n : ≥ F(n) = ≥ Sn –a1 . Отсюда : NSn ≤ + а1 , т.е. последовательность {S n } ограниче- на сверху; значит ( см. теорему 1) , ряд сходится. ◄
Пример 6. Пусть λ – некоторое вещественное число.Рассмотрим ряд 
. Этот ряд называют обобщенным гармоническим рядом ( в частном случае λ =1 получим гармонический ряд, см. пример 4). Если λ ≤ 0 , то 
не стремится к нулю; значит (см. достаточное условие расходимости, 2˚), при λ≤0 обобщенный гармонический ряд расходится. Пусть λ>0. Функция f (x) = = 
, очевидно, является производящей функцией для ряда ; она положительна и убывает на [1;+∞) . Таким образом, f (x) удовлетворяет тре- бованиям интегрального признака Коши.
Имеем: при λ≠ 1 
, при λ = 1 
. Из этих равенств нетрудно вывести, что 
расходится при 0 < λ ≤ 1 и сходится при λ > 1. По интегральному признаку Коши обобщенный гармонический ряд ведет себя так же.
Итак, ряд расходится при λ ≤ 1 и сходится при λ > 1.
Следующие теоремы дают достаточные условия сходимости или расходимости ряда с неотрицательными членами.
Теорема 3.( Первый признак сравнения ) Пусть {ak} и{bk} - две последовательности неотрицательных чисел, причем 
. Тогда :
1) если 
сходится, то сходится и ряд 
;
2) если ряд расходится, то расходится и ряд .
► Обозначим : 
1) Очевидно, 
Пусть сходится, а 
- его сумма : 
. Так как последовательность частичных сумм монотонно не убывает, то 
≤ . Значит, при всех натуральных n 
≤ , т.е. последовательность { 
} ограничена свер- ху числом , и поэтому она сходится. 2) Пусть расходится; тогда 
Так как 
, то и 
→ +∞, т.е. ряд расходится.◄
Пример 7. Рассмотрим ряд 
. При всяком натуральном k k! ≥ 
Следовательно, при всех натуральных k 
Ряд 
сходится (пример 1, q = = ½), значит,сходится и рассматриваемый ряд.
Теорема 3.( Второй признак сравнения ) Пусть {ak} – последовательность неотрицательных чисел, а {bk} – последовательность положительных чисел. Пусть, далее, 
где q - либо неотрицательное число, либо символ +∞. Тогда :
1) если 0 < q < + ∞, то ряды и ведут себя одинаково – либо
оба сходятся, либо оба расходятся ;
2) если q = 0, а ряд сходится, то сходится и ряд ;
3) если q = + ∞, а ряд расходится, то расходится и ряд .
► 1) Достаточно показать, что из сходимости вытекает сходи –
мость , а из расходимости следует расходимость . Зададим
ε, 0 < ε < q . Найдется натуральное kε , такое, что при всех k > kε справедливо неравенство 
, т.е.
(3)
Пусть сходится . Тогда сходится и его остаток 
. Из неравенств
( см.(3) ) и первого признака сравнения вытекает сходимость ряда 
( заметим, что q – ε > 0 ). Этот ряд представляет собой остаток ряда 
, который, следовательно, является сходящимся. Значит (см. свойство 4, п. 2º ), сходится.
Пусть расходится. Чтобы вывести отсюда расходимость ряда ,
следует воспользоваться неравенствами 
, справедливыми при k > > kε ( см. (3) ). Рассуждения аналогичны изложенным выше.
2) Пусть сходится. Зададим некоторое ε > 0. Так как 
най- дется kε , такое, что при всех k > kε справедливо неравенство 
, т.е. 
Так как сходится, то сходится и его остаток 
. По свойству 4, п. 2º, сходится ряд 
. Отсюда и из первого признака сравнения вытекает сходимость ряда 
, который представляет собой остаток ряда . Значит, сходится.
3) Пусть расходится. Так как 
найдется натуральное k1 та
кое, что при всех k > k1 справедливо 
По первому признаку сравнения из 
вытекает расходимость ряда 
, который представляет собой остаток ряда . Значит, расходится. ◄
Замечание. Доказанная теорема производит сравнение двух рядов по “ско- рости” убывания их общих членов. Если общие члены рядов и являются бесконечно малыми одинакового порядка ( 
, q ≠ 0, +∞ ), то ряды ведут себя одинаково; в частности, ряды ведут себя одинаково, когда их общие члены эквивалентны ( случай q = 1 ). Если общий член ряда является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с об- щим членом сходящегося ряда (ak =o( bk) ), то также сходится; если общий член ak убывает “медленнее“ общего члена расходящегося ряда , то ряд также расходится.
Чтобы эффективно применять признаки сравнения, нужно располагать набором рядов, относительно которых уже известно, сходятся они или расходятся, и чем больше различных рядов в этом наборе, тем больше шансов най- ти среди них такой, сравнение с которым позволит выяснить, сходится ли интересующий нас ряд. Мы уже можем включить в этот набор различные ря- ды вида 
, где a и q положительные числа – такой ряд сходится, если 0 < q < 1, и расходится, если q ≥ 1 (cм.примеры 1 и 5). В этот набор можем включить также обобщенный гармонический ряд при всевозможных вещественных λ (пример 6). Вообще, каждый ряд, сходимость которого исследована, пополняет указанный набор рядов.
На второй признак сравнения опирается метод выделения главной части в иследовании рядов на сходимость. Пусть f (x) есть производящая функция ряда : ak = f (k) . Пусть, далее, С 
, где С > 0 и λ > 0 , - главная часть f (x) при х → +∞ , т.е. f (x) эквивалентна С при х → +∞. Из второго признака сравнения следует, что ряд ведет себя так же, как ряд : он расходится, если λ ≤ 1, и сходится, если λ > 1.
Пример 8. Исследуем на сходимость ряд 
. Запишем его производящую функцию : 
. Выделим ее главную часть при х→ +∞ :
~ 
= 
~ , х→ +∞.
Итак, С = 1 , λ = 1, поэтому рассматриваемый ряд ведет себя так же, как гармонический ряд 
, т.е. расходится.
Теорема 4 .(Признак Даламбера) Пусть {ak} – последовательность положительных чисел, и пусть 
, где q – либо неотрицательное число, либо + ∞. Тогда : 1) если 0≤ q < 1, то ряд сходится; 2) если q > 1 или q =+ ∞ , то ряд расходится.
► 1) Пусть р – число, удовлетворяющее неравенствам q < p < 1. По теореме о стабилизации знака неравенства ( [3], п. 3.3 ) найдется натуральное kр такое, что при всех k > kр справедливо 
, т.е. аk+1 < p ak. Отсюда при k = kp+1 получим 
при k = kp+2 получим 
, при k= kp+3 будет 
и т.д. Вообще, при всяком натуральном m справедливо неравенство 
. Рассмотрим два ряда : 
и 
. Для их общих членов справедливо неравенство , причем ряд с бóльшим общим членом сходится, ибо его члены образуют геометрическую прогрессию, знаменатель р которой меньше единицы. По первому признаку сравнения сходится ряд 
, который представляет собой остаток ряда ; значит, этот последний ряд сходится.
2) И в случае q > 1, и в случае q = + ∞ найдется натуральное k0 такое, что при всех k > k0 справедливо 
, т.е. начиная с номера k0 члены пос- ледовательности { ak } возрастают, поэтому эта последовотельность не стремится к нулю. Значит, ряд расходится. ◄
Замечание. В случае q = 1 признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда: если 
, ряд может оказаться сходящимся , но может окзаться и расходящимся.
Пример 9. Применим признак Даламбера к ряду 
: ak = 
,
.
Значит, ряд сходится.
Теорема 5.( Радикальный признак Коши ) Пусть {ak} – последовательность неотрицательных чисел, и пусть 
, где q – либо неотрицательное число, либо +∞. Тогда : 1) если 0 ≤ q < 1, то ряд сходится , 2) если q > 1 или q = + ∞, то ряд расходится.
► 1) Пусть р – число, удовлетворяющее неравенствам q < р < 1. Най- дется натуральное kр такое, что при всех k > kр справедливо 
, т.е. ak< < 
. По первому признаку сравнения отсюда следует, что ряд 
(остаток ряда ) сходится, так как его члены меньше соответствующих членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Поскольку сходится остаток, то сходится и сам ряд.
2) И в случае q > 1, и в случае q =+ ∞ найдется натуральное k0 такое, что при всех k > k0 справедливо 
; поэтому при указанных k 
Значит, последовательность {ak} не может стремиться к нулю; ряд расходится.◄
Замечание. При q = 1 радикальный признак Коши не не дает ответа на вопрос о сходимости ряда : в этом случае ряд может оказаться сходящимся, но может и расходиться.
Пример 10. Применим радикальный признак Коши к ряду 
: 
= 
Следовательно, ряд расходится.
4°. Признаки сходимости произвольных рядов
Здесь мы рассматриваем ряды, члены которых могут быть любыми вещественными или мнимыми числами. Начнем с частного, но весьма важного для приложений случая – с рядов, которые принято называть знакочередующимися.
Пусть {ak} – последовательность положительных чисел. Рассмотрим. ряд 
. Ряды такой структуры и называют знакочередующимися.
Теорема 7.( Признак Лейбница ) Пусть последовательность {ak} строго убывает и стремится к нулю. Тогда ряд сходится; а его сумма S удовлетворяет неравенствам 0 < S ≤ a1.
► Пусть n – некоторое четное число: n = 2l , l 
N.В сумме S2l сгруппируем слагаемые :
S2l = 
= (а1 –a2) + ( a3 – a4) + … +(a2l-3 –a2l-2 ) + (a2l-1 –a2l )
Так как {ak} строго убывает,то разность в каждой из скобок положительна; значит, S2l > 0 и S2(l+1) > S2l , т.е. последовательность {S2l } 
- это строго возрастающая последовательность положительных чисел. Сгруппируем теперь слагаемые в сумме S2l иначе :
S2l = a1 – ( a2 –a3 ) – ( a4 –a5 ) - … - ( a2l-2 –a 2l-1 ) – a2l .
Отсюда ясно, что S2l < a1. Таким образом, строго возрастающая последова- тельность { S2l} ограничена сверху числом a1; значит, она сходится. Обозна- чим ее предел через S. Из свойств { S2l } следует: 0 < S ≤ a1
Покажем, что S есть сумма ряда , т.е., что S = lim Sn , где Sn = = 
. Пусть n – некоторое нечетное число: n = 2l –1 , l N. Заметим : S2l-1 = = S2l - a2l → S, так как S2l → S, а a2l → 0. Таким образом, обе подпосле- довательности {S2l} частичных сумм с четными номерами и {S2l-1} частичных сумм с нечетными номерами сходятся к S; значит, вся последовательность {Sn} 
имеет тот же предел
Итак, ряд сходится, а его сумма S удовлетворяет неравенствам 0< S ≤ a1. ◄
Пример 10. Рассмотрим ряд 
, где λ – некоторое вещественное число. Это знакочередующийся ряд; здесь ak = . Если λ ≤0 , последователь- ность {ak}, очевидно, не стремится к нулю, и поэтому при таких λ ряд расхо- дится. При λ > 0 последовательность {ak} строго убывает и стремится к ну- лю; значит, по признаку Лейбница ряд сходится.
В следующей теореме члены ряда - любые числа, быть может, мнимые. Из их модулей составим новый ряд 
; члены этого ряда неотрицательны.
Теорема 8.Если сходится ряд , то сходится и ряд .
► Зададим некоторое ε > 0. Так как сходится, в силу критерия Коши (свойство 1, 2˚ ) существует натуральное nε такое, что при всех n > nε и любых натуральных р справедливо 
. Ho при этих n и p 
, т.е., для ряда выполнены требования критерия Коши:
N 
N 
N ( n > nε 
) ,
поэтому ряд сходится . ◄
Пример 11. Рассмотрим ряд 
, где φ и λ – вещественные числа. Так как │exp(ikφ)│= 1, то 
. Отсюда ясно, что при λ ≤ 0 общий член рассматриваемого ряда не стремится к нулю, поэтому ряд расходится, а при λ > 1 ряд 
сходится ( см. пример 6), значит, сходится и рассматриваемый ряд. Его поведение при 
будет выяснено ниже с помощью признака Дирихле.
Лемма Абеля.Пусть 
и 
- наборы комплексных чисел Обозначим: Vq= 
; V = max { |V1| , |V2| , … , |Vp| } . Тогда :
1) 
2)2) если u1 ≥ u2 ≥ … ≥ up > 0 , то 
.
► Заметим : V1 = v1, а при j = 2,3, …, p vj = Vj – Vj-1. Значит,
Раскрыв здесь скобки и приведя затем подобные, получим равенство 1).
◄
Теорема 9.( Признак Дирихле ) Пусть 
- монотонная невозрастающая последовательность положительных чисел, а 
- последовательность комплексных чисел. Обозначим: Вр = 
. Если 1) 
и 2) существует М > 0 такое, что 
М при всех р N, то ряд 
сходится.
► Покажем, что ряд удовлетворяет требованиям критерия Коши 
N 
N 
N( n > nε 
)
Зададим ε > 0. По условию 1) , значит, найдется натуральное n ε такое, что из k > n ε следует 
. Пусть n и р – натуральные числа, причем n > n ε. Имеем: 
, где u j = an+j , v j = b n+j . Заметим: u1 ≥ u2 ≥ … ≥ up > 0 . Обозначим: Vq = 
, V = max { |V1| , |V2| , … , |Vp| }. Так как Vq = 
= Bn+q – Bq, то при любом натуральном q имеем : | Vq | ≤ ≤ | Bn+q| + |Bq| ≤ 2M . Значит, V ≤ 2M . В силу утверждения 2) леммы Абеля 
, т.е. | 
| ≤ 2М an+1. Отсюда и из неравенствa 
следует : | | < ε . Таким образом, для произвольно заданного ε>0 существует натуральное n ε , удовлетворяющее требованию критерия Коши ; поэтому ряд сходится. ◄
Пример 12. Вернемся к рассмотрению ряда . Пусть 0 < λ ≤ 1. Ввиду 2π – периодичности exp(ikφ), достаточно рассматривать 
. Если φ = 0, ряд превращается в , который при 0 < λ ≤ 1 расходится ( пример 6). Пусть φ 
. При всяком k Nположим 
где q 
. Заметим: при 0 < λ ≤ 1 последовательность 
убывает и стремится к нулю; далее, при φ q отлично от единицы, поэтому Bp = 
, и, значит, |Bp| 
, где М от р не зависит. Таким образом, последовательности и 
удовлетворяют требованиям признака Дирихле, значит, ряд , т.е. при 0 < λ ≤ 1 и φ сходится.
Теорема 10.( Признак Абеля) Пусть - невозрастающая последова- тельность положительных чисел, а - последовательность комплексных чисел. Если сходится ряд , то сходится и ряд 
.
► Обозначим: 
. Заметим: {ck} – невозрастающая бесконечно малая последовательность положительных чисел; {Bp} – последовательность частичных сумм сходящегося ряда, значит, это сходя- щаяся и потому ограниченная последовательность. По признаку Дирихле ряд 
, т.е. 
сходится. Но 
, а это означает, что ряд является суммой двух сходящихся рядов и 
. Следовательно ( свойство 5, 2˚ ), ряд сходится. ◄
5 ˚. Абсолютно сходящиеся ряды
Если сходится ряд , то ряд также сходится ( теорема 8 ). Если же расходится, то может оказаться как сходящимся, так и расхо- дящимся рядом. Ряд называют абсолютно сходящимся рядом, если сходится . Если сходится, а расходится, то говорят, что сходится неабсолютно или условно.
Пример 13. При λ ≤ 0 ряд 
расходится, а при λ > 0 он сходится ( пример 10) . Заметим: 
, а 
расходится при 0 < λ ≤ 1 и сходится при λ > 1. Значит, при 0 < λ ≤ 1 ряд сходится условно, а при λ > 1 его сходимость абсолютная.
Пример 14. Пусть φ . Ряд сходится при λ > 0 ( при- меры 11 и 12). Так как , то при 0 < λ ≤ 1 сходимость этого ряда условная, а при λ > 1 - абсолютная.
Абсолютно сходящиеся ряды представляют особый интерес, ибо они обладают свойствами, сближающими их с конечными суммами. Ниже эти свойства будут рассмотрены подробно; а пока отметим, что их наличие упрощает обращение с абсолютно сходящимися рядами; поэтому, имея дело со сходящимся рядом , важно выяснить, является ли он абсолютно схо- дящимся, для чего нужно исследовать сходимость ряда . Так как члены его неотрицательны, применимы теоремы, изложенные в 3˚. Кроме того, если z k- мнимые числа, часто оказывается полезной следующая теорема.
Теорема 11 .Пусть и - последовательности вещественных чисел . Обозначим : zk = xk + i yk. Для того чтобы ряд абсолютно сходился, необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходились оба ряда 
и 
.
► Необходимость. Так как |x k| ≤ |z k|, то в силу первого признака сравнения из сходимости вытекает сходимость 
. Доказательство схо- димости 
аналогично.
Достаточность. Пусть и сходятся; тогда сходится и 
. Из неравенства |z k| ≤ |x k| + |yk| и первого признака сравне- ния вытекает сходимость . ◄
Пример 15. Рассмотрим ряды 
и