 |
|
Знакоположительные числовые ряды
Числовые ряды
Определение. Бесконечная сумма вида 
, где (1)
- общий член ряда (произвольное число, как положительное так и отрицательное), называется числовым рядом.
Определение. Ряд (1) сходится , если сходится последовательность частичных сумм ряда
, то есть 
, где 
-конечное число, называемое суммой сходящегося ряда, а 
- частичная сумма ряда (1).
Утверждение. Из сходимости ряда (1) вытекает, что 
. Отсюда получаем, что
если 
, то ряд (1) расходится.
Рассмотрим ряд в виде геометрической прогрессии : 
, где 
- некоторое число. При 
или 
г.п. сходится и сумма ее равна 
, при 
, расходится.
Пример. Найти 
.
Решение. 
. Здесь 
.
Пример. Найти сумму числового ряда 
.
Решение. 
Знакоположительные числовые ряды
Определение. Числовой ряд 
называется знакоположительным, если все 
.
Рассмотрим знакоположительный ряд вида 
. (1)
Ряд 
сходится , если 
и расходится, если 
.
Примеры сходящихся рядов: 
, 
.
Примеры расходящихся рядов: 
.
Примечание: По отношению к ряду 
при 
заключение о его поведении
не изменяется, то есть, он сходится, если и расходится, если .
Рассмотрим ряд вида 
, (2)
где 
- многочлен степени m относительно переменного натурального n с действительными коэффициентами 
,
- многочлен степени k относительно переменного натурального n c действительными коэффициентами 
При этом числа 
неотрицательные целые числа, не равные одновременно нулю.
Например 
- многочлен степени 3, 
- многочлен степени 4.
Утверждение. Если 
, (3)
то ряд (2) сходится, в противном случае, то есть когда 
, (4)
то ряд (2) расходится.
Пример. Ряд 
расходится, так как 
и выполнено условие (4).
Пример. Ряд 
сходится, так как 
и выполнено условие (3).
Пример. Ряд 
сходится, так как 
и выполнено условие (3).
Пример. 
расходится, так как 
и выполнено условие (4).
Пример. 
расходится, так как 
и выполнено условие (4).
Пример. Найти 
.
Решение.
Признак сравнения. Пусть даны два знакоположитедьных ряда A) 
В) 
.
Если 
, где 
, то ряды А и В сходятся или расходятся одновременно.
Пример. Указать сходящиеся числовые ряды.
1) 
2) 
3) 
4) 
Решение. Для сравнения возьмем ряд 
. Ясно, что в (1) надо взять 
, в (2) надо взять 
, в (3) надо взять 
, в (4) надо взять 
. Это делается из следующих соображений: В (1) отбрасывается слагаемое 
, в (2) отбрасывается -4, в (3) отбрасывается 
в (4) отбрасывается 
. После этого остаются ряды 
,
, 
, или после преобразований 
, 
, 
, 
. Отсюда ряд (1) сходится так как, 
. Ряд (2) расходится так,как 
.
Ряд (3) расходится так,как 
. Ряд (4) сходится так,как 
.
С использованием признака сравнения заключение о характере сходимости ряда 
проводится следующим образом: в многочленах 
и 
оставим старшие члены, то есть слагаемые 
и 
. В результате получим ряд 
, где 
- постоянная. Отсюда при 
или то же самое , ряд сходится
и при 
или , ряд расходится.