Знакочередующиеся ряды ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Ряд вида , где (5) называется знакочередующимся рядом. Признак Лейбница. Если члены ряда (5) по модулю монотонно убывают с ростом , то есть , начиная с некоторого n и , то ряд (5) сходится . Если нарушено хотя бы одно из указанных условий, то ряд расходится. Пример. Даны числовые ряды: А) В) Выяснить характер сходимости этих рядов. Ответ. А сходится, В расходится. Решение. Для ряда А модулем общего члена ряда является . Ясно, что он монотонно уменьшается , начиная с n=1, . Условия признака Лейбница выполнены, следовательно ряд А сходится. Для ряда В модулем общего члена ряда является . Очевидно, что второе условие признака Лейбница не выполнено, так как , следовательно ряд В расходится.
Определение. Знакочередующийся ряд сходится абсолютно, если сходится ряд составленный из абсолютных значений его членов, то есть если сходится ряд . Утверждение. Если знакочередующийся ряд сходится абсолютно, то он просто сходится, то есть справедлива схема: -сходится - сходится Определение. Если ряд сходится, а ряд расходится ( расходится абсолютно), то говорят, что ряд сходится условно. Пример. Укажите правильное утверждение относительно сходимости знакочередующихся рядов: А) и В) . Ответ. А расходится, В сходится условно. Обоснование. , то есть нарушено второе условие признака Лейбница, следовательно ряд А расходится. Относительно ряда В). Так как коэффициенты убывают монотонно с ростом и , то есть выполнены оба условия признака Лейбница, ряд В) сходится. Но ряд расходится, следовательно ряд В) сходится условно.
Степенные ряды
Ряд вида называется степенным рядом. Здесь - коэффициенты ряда (действительные числа), - центр ряда. Существует положительное число такое , что степенной ряд сходится при всех из интервала и расходится при всех , лежащих вне этого интервала. Такое называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал - интервалом или областью сходимости. Радиус сходимости можно найти по формулам
или
Пример. Найти область сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на границе этой области. Решение. Здесь . Радиус сходимости . Центр ряда , интервал или область сходимости . На левом конце при получим числовой ряд который расходится, так как . На правом конце при получим числовой ряд , который расходится, так как . Таким образом областью сходимости степенного ряда является интервал .
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|