Определение числового ряда. Примеры

Г л а в а 1. Числовые ряды

1⁰. Некоторые известные сведения о пределах.

Последовательность имеет предел , если для " такой номер , что для всех номеров выполняется неравенство . При этом пишут .

Примеры.

Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

2⁰.

Определение 1.

Пусть дана последовательность чисел . Выражение в виде бесконечной суммы (или ) называется числовым рядом. При этом называется индексом суммирования , а общим членом ряда.

Пусть дан ряд . Найдем конечные суммы:

Эти суммы называются частичными суммами ряда . Частичные суммы образуют последовательность

Определение 2.

Ряд называется сходящимся ( говорят, ряд сходится), если существует конечный предел последовательности частичных сумм, т.е. , при этом величина называется суммой ряда и записывается . В противном случае ряд называется расходящимся.

Примеры.

1. Запись рациональной дроби в виде ,tпериодической десятичной дроби представляет собой сходящийся ряд, а именно .

2. Рассмотрим ряд

, его называют суммой геометрической прогрессии (напомним , что ─ знаменатель прогрессии).

Найдем формулу для его частичной суммы. Имеем . Умножим обе части равенства на и справа прибавим и вычтем . Тогда получим , откуда . Ясно, что при ряд расходится. В других случаях имеем

Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна .

Ряд сходится при и расходится при .

3. Ряд называется гармоническим. ( Среднее гармоническое С двух чисел А и В находится из равенства , у данного ряда каждый член ряда, начиная со второго является средним гармоническим соседних).