Признаки сходимости рядов с положительными членами

Основной вопрос, на который надо ответить при исследовании данного ряда ─ сходится он или нет. И если да, то по возможности найти его сумму. Как мы видели, полный ответ был получен для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Но это скорее исключение. Сходимость ряда устанавливают с помощью так называемых признаков сходимости . Мы начнем с рядов с положительными членами и приведем для них основные признаки сходимости.

Итак, будем рассматривать ряды с . ( Заметим, что если члены ряда неотрицательны, то все нулевые слагаемые можно отбросить и ряд перенумеровать, тогда получим ряд с положительными членами).

Частичные суммы такого ряда положительны и возрастают. Поэтому, исходя из признака существования предела последовательности, можно сразу сформулировать достаточный признак ряда сходимости ряда с положительными членами.

Если частичные суммы ограничены, т.е. существует такое что для всех , то последовательность частичных сумм имеет предел, т.е. ряд сходится.

Пользоваться этим признаком затруднительно, его мы используем для доказательства других достаточных признаков.

I. Признак сравнения в форме неравенства.

Теорема 1.Пусть даны два ряда

(А) и

(В) .

Если начиная с некоторого номера выполняется неравенство

то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А), из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).

Доказательство.

Не ограничивая общности можно считать (почему?).

Обозначим частичные суммы ряда (А) , а ряда (В) ─ . Тогда в силу условия верно неравенство .

Пусть ряд (В) сходится. Значит, существует величины ограничены ограничены существует ряд (А) сходится.

Пусть теперь ряд (А) расходится. Тогда также не может иметь конечный предел. ■

Замечание. Часто ряд (В) называют мажорантой ряда (А), тогда говорят, что из сходимости мажоранты следует сходимость ряда. Реже ряд (А) называют минорантой ряда (В).

Чтобы использовать признак сравнения для исследования сходимости данного ряда следует найти либо сходящуюся мажоранту либо расходящуюся миноранту.

Примеры.

1. .

Верно неравенство . Ряд сходится как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, значит, сходится и ряд .

2. . Очевидно, что при этот ряд расходится. Поэтому рассмотрим два следующих случая.

а). . Верно, что . Известно, что гармонический ряд расходится, расходится ряд при .

б). . Запишем в виде . Возьмем вспомогательный ряд . Найдем частичные суммы этого ряда этот ряд сходится. Теперь к функции применим теорему Лагранжа на отрезке , получим