Сходимость знакопеременных рядов ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
10. Будем рассматривать ряд (А) , члены которого могут быть как положительными, так и отрицательными. Наряду с рядом (А) рассмотрим ряд с неотрицательными членами (А*) . Теорема 1 . Если ряд (А*) сходится, то сходится и ряд (А). Доказательство. Построим два вспомогательных положительных ряда (Р) (Q) Каждый из рядов (Р) и (Q) сходится, т.к. их частичные суммы не превышают частичных сумм ряда (А*), значит, они ограничены, и ряды сходятся по достаточному признаку сходимости положительных рядов. Нетрудно видеть, что = . Поэтому ряд (А) как разность двух сходящихся рядов сходится. ■ Определение. Ряд (А) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (А*). Если же ряд (А*) расходится, а ряд (А) сходится, то он называется условно сходящимся.
20. Знакочередующиеся ряды.
Определение. Ряд (С) , где все называется знакочередующимся. Теорема 2.(Признак Лейбница) Пусть для ряда (С) выполнены условия: 1. 2. 3. Тогда ряд (С) сходится. Доказательство. Сначала рассмотрим поведение частичных сумм ряда (С) с четными номерами Так как , , то выражения во всех скобках положительны, и поэтому и возрастают. С другой стороны, , что означает ограниченность . Итак, частичные суммы с четными номерами возрастают и ограничены сверху . Частичные суммы с нечетными номерами и при , поэтому . ■ Примеры. 1) Рассмотрим знакопеременный ряд . Верно неравенство . Так как ряд сходится, то сходится ряд ряд сходится абсолютно. 2). Знакочередующийся ряд очевидно удовлетворяет условиям признака Лейбница он сходится. С другой стороны, ряд из модулей расходится ряд сходится условно.
Введем понятие скорости сходимости сходящегося ряда. Пусть . Для любого остатка можно записать . Как было показано, , т.е. является бесконечно малой при . Порядок малости назовем скоростью сходимости ряда. Рассмотрим сумму бесконечно убывающей прогрессии . Остаток . Говорят, что скорость сходимости соответствует . Любой сходящийся знакочередующийся ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница, также позволяет узнать скорость его сходимости. Имеем Теорема 3. (Оценка остатка знакочередующегося ряда) Модуль остатка знакочередующегося ряда не превышает модуля первого отброшенного члена, и имеет его знак, т.е. знак . Доказательство. Рассмотрим сначала остаток с номером . Теперь вспомним доказательство признака Лейбница ─ частичные суммы с четными номерами больше 0 и меньше первого члена, более того, сумма ряда также больше 0 и меньше первого члена . Значит, Пусть теперь или Ясно, что и отрицателен. ■
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|