 |
|
Доказательство признака
Пусть a+k ≤x≤ a+k+1.
Тогда f(a+k)≥f(x)≥ f (a+k+1) в силу монотонного невозрастания функции
Далее: 
, k=0,1,2,…n.
Cуммируем по k от а до n:
f(а)+ f(а+1)+…+ f(а+n) ≥ 
≥ f(а+1)+ f(а+2)+…+ f(а+n)+ f(а+n+1)
Теперь заключаем:
1. Если интеграл 
сходится, то средняя часть неравенства, как функция отn, ограничена.Следовательно, ограничена и правая часть неравенства, то есть ограничена частичная сумма ряда А это значит, что ряд сходится .
2. Если интеграл расходится, то средняя часть неравенства, как функция отn, не ограничена. Следовательно, не ограничена и левая сумма в неравенстве, то есть не ограничена частичная сумма ряда. Ряд расходится .
Интегральный признак сходимости доказан.
Пример Пункт 4
ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
Будем рассматривать числовые ряды с членами произвольных знаков:
u1+u2+…+un +…
ui – произвольные знаки
Прежде всего выделим среди них класс знакочередующихся рядов:
u1- u2+u3-u4+…+(-1)n-1un +…
ui >0, i=1,2,3,…
Теорема Лейбница (Признак сходимости знакочередующихся рядов)
Если в знакочередующемся ряде выполнены два условия:
то такой ряд сходится.
(Ряд ,удовлетворяющий этим условиям ,называют рядом ЛЕЙБНИЦЕВСКОГО ТИПА)
Доказательство
Рассмотрим сумму первых 2n членов ряда:
Так как скобки по условию неотрицательны, заключаем
Убрать -2 в индексе
То есть мы установили, что 
-
последовательность частичных сумм с четными индексами -
монотонно не убывает.
Запишем 
, по-другому сгруппировав члены в скобки:
Отсюда ( так как 
) видно, что 
То есть рассматриваемая последовательность с четными индексами ограничена.
Следовательно:
К тому же пределу S стремится и последовательность частичных сумм с нечетными индексами:
ибо 
Признак Лейбница доказан.
Замечание
В дальнейшем нами будет использован следующий факт:
последовательность с нечетными индексами
не возрастает, так как
Очевидно, что
Примеры
1)
+1 в показателе
Ряд сходится.
2)
Ряд расходится.
(Т.к. необходимый признак сходимости явл. достаточным признаком расходимости!)
3)
Сделать=0
Ряд сходится
Последний пример приводит к новым понятиям абсолютной и условной сходимости