ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИХСЯ РЯДОВ

Знакопеременные ряды – это ряды как с положительными, так и с отрицательными членами. К знакопеременным рядам относятся знакочередующиеся ряды и ряды с произвольным чередованием знаков своих членов.

Теорема. Достаточный признак абсолютной сходимости знакопеременного ряда. Знакопеременный ряд сходится, если сходится ряд .

В этом случае исходный ряд называется абсолютно сходящимся.

Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится.

Если ряд абсолютно сходится, то ряд, полученный после любой перестановки бесконечного множества его членов, абсолютно сходится и имеет ту же сумму, что и первоначальный ряд. Если ряд условно сходится, то при перестановке бесконечного множества его членов сумма ряда может измениться. В частности, при соответствующей перестановке членов условно сходящегося ряда его можно превратить в расходящийся ряд.

Знакочередующимся рядом называется ряд вида: , где (n= 1, 2, 3, …).

Теорема Лейбница. Признак сходимости знакочередующегося ряда. Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов убывают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняются следующие условия: 1) и 2) .

Ряд, удовлетворяющий этим условиям, называется рядом Лейбница.

Возьмем -ю частичную сумму ряда Лейбница:

Пусть - -й остаток ряда. Его можно записать как разность между суммой ряда S и n-й частичной суммой , т.е. или:

Остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине: . Это неравенство удобно использовать для оценки погрешности, получаемой при замене суммы S ряда Лейбница ее приближенным значением S@ S_n.

Пример 8. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

Решение. Применим признак Лейбница:

1) Первое условие выполняется.

2) Второе условие выполняется.

Следовательно, ряд сходится.

Пример 9. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

1,1-1,01+1,001-1,0001+…+(-1)ⁿ⁺¹(1+10^-ⁿ)+…

Решение. Применим признак Лейбница:

1) 1,1>1,01>1,001>1,0001>… Первое условие выполняется.

2) Второе необходимое условие сходимости ряда не выполняется. Следовательно, ряд расходится.

Пример 10. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

1 - 1+1 - 1+…+(-1)ⁿ⁺¹+…

Решение. Общий член ряда не стремится к нулю, поэтому ряд расходится.

Пример 11. Исследовать сходимость знакопеременного ряда: .

Решение. Составим ряд из абсолютных величин: Этот ряд составлен из членов убывающей геометрической прогрессии и, следовательно, сходится. Значит, и данный ряд сходится, причем абсолютно.

Пример 12. Исследовать на абсолютную сходимость ряд:

Найти приближенно (с точностью 0,01) сумму этого ряда.

Решение. Так как ряд знакочередующийся, то можно применить теорему Лейбница. Все условия теоремы Лейбница выполнены:

Следовательно, ряд сходится. Причем этот ряд сходится абсолютно, так как сходится ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

Сходимость этого последнего ряда легко обнаружить, если применить признаки сравнения или интегральный признак Коши.

Применим интегральный признак:

Интеграл сходится (является конечной величиной), поэтому сходится ряд, составленный из абсолютных величин знакочередующегося ряда. Следовательно, знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Для того чтобы найти сумму заданного ряда с точностью 0,01, надо взять столько его членов, чтобы следующий член ряда был по модулю меньше 0,01. Для данного ряда модуль четвертого члена 1/6³=1/216<0,01, поэтому с точностью 0,01:

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение числового ряда. Какие ряды называются сходящимися и расходящимися?

2. Перечислите основные свойства числовых рядов.

3. Назовите признаки сходимости рядов с положительными членами.

4. Дайте определения знакочередующихся и знакопеременных рядов.

5. Сформулируйте признак Лейбница.

6. Дайте определения абсолютно и условно сходящихся знакопеременных рядов.

7. Сформулируйте достаточный признак абсолютной сходимости знакопеременного ряда.

8. Как можно оценить сумму знакочередующегося ряда с заданной точностью?

ЛИТЕРАТУРА

1. Мантуров О.В. Курс высшей математики. – М.: Высш. шк., 1991. - 448 с.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2. - М.: Высш. шк., 1980. - 365 с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2 – М.: Наука, 1972. - 312 с.

4. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. /Под ред. Б.П. Демидовича. – М.: Высш. шк., 1972. - 472 с.

5. Сборник задач по курсу высшей математики. /Под ред. Г.И.Кручковича. - М.: Высш. шк., 1973. - 576 с.

6. Берман А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для вузов. – М.: Наука, 1989. - 736 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………………………………………………………………………..3

1. Основные понятия…………….………………………………………..……...3

2. Основные теоремы о числовых рядах ..……………………………………..4

3. Признаки сходимости рядов с положительными членами …………………5

4. Признаки сходимости знакопеременных и знакочередующихся рядов…...9

5. Контрольные вопросы………………………………………………………...12

Литература……….………………………………………………………………. 13

⇐ Предыдущая 12