Необходимый теоретический материал.
ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Методические указания
Иркутск 2008 Оглавление
ВВЕДЕНИЕ В настоящих методических указаниях изложен теоретический материал и на конкретных примерах разобрано приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными для уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов. Методические указания предназначены для студентов математических специальностей очной и заочной формы обучения.
Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными.
Задача. Определить тип уравнения
(1) и привести его к каноническому виду. Необходимый теоретический материал. I. Тип уравнения (1) определяется знаком выражения : · если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа в этой точке; · если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа в этой точке; · если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением параболического типа в этой точке. Уравнение (1) будет являться уравнением гиперболического, эллиптического, параболического типа в области D, если оно гиперболично, эллиптично, параболично в каждой точке этой области. Уравнение (1) может менять свой тип при переходе из одной точки (области) в другую. Например, уравнение является уравнением эллиптического типа в точках ; параболического типа в точках ; и гиперболического типа в точках . II. Чтобы привести уравнение к канонического виду, необходимо: 1. Определить коэффициенты ; 2. Вычислить выражение ; 3. Сделать вывод о типе уравнения (1) (в зависимости от знака выражения ); 4. Записать уравнение характеристик: ; (2) 5. Решить уравнение (2). Для этого: а) разрешить уравнение (2) как квадратное уравнение относительно dy: ; (3) б) найти общие интегралы уравнений (3) (характеристики уравнения (1)): · (4) в случае уравнения гиперболического типа; · , (5) в случае уравнения параболического типа; · , (6) в случае уравнения эллиптического типа. 6. Ввести новые (характеристические) переменные и : · в случае уравнения гиперболического типа в качестве и берут общие интегралы (4) уравнений (3), т.е. · в случае уравнения параболического типа в качестве берут общий интеграл (5) уравнения (3), т.е. , в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию , не выражающуюся через , т.е. ; · в случае уравнения эллиптического типа в качестве и берут вещественную и мнимую часть любого из общих интегралов (6) уравнений (3): 7. Пересчитать все производные, входящие в уравнение (1), используя правило дифференцирования сложной функции: , , , (7) , . 8. Подставить найденные производные в исходное уравнение (1) и привести подобные слагаемые. В результате уравнение (1) примет один из следующих видов: · в случае уравнения гиперболического типа:
; · в случае уравнения параболического типа:
; · в случае уравнения эллиптического типа:
.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|