 |
|
Двухфакторный дисперсионный анализ
Обобщением однофакторного дисперсионного анализа является многофакторный анализ, когда учитывается одновременно несколько факторов. Рассмотрим воздействие на признак 
двух независимых факторов 
и 
, имеющих 
и 
фиксированных уровней соответственно. Для всех возможных сочетаний уровней проведено одно измерение, т.е. всего измерялось 
значений 
признака , где 
- индекс уровня фактора , 
- индекс уровня фактора .
Результаты наблюдений представляют в виде таблицы 2.12.
Т а б л и ц а 2.12
Матрица экспериментов
| Уровень фактора
| Уровни фактора
| |||
| 
| … | 
| |
| 
| 
| … | 
|
| 
| 
| … | 
|
| … | … | … | … | … |
| 
| 
| … | 
|
Расчетные формулы средних значений признака :
· на каждом уровне фактора
. (2.12)
· на каждом уровне фактора
. (2.13)
· по всем наблюдениям
. (2.14)
Расчетные формулы дисперсий признака :
· на каждом уровне фактора
. (2.15)
· на каждом уровне фактора
. (2.16)
Число степеней свободы:
Суммы, характеризующие влияние факторов на признак , и общая сумма квадратов:
; (2.17)
,
где 
- остаточная сумма квадратов отклонений. Тогда
. (2.18)
Дисперсии:
Статистическая значимость влияния на признак факторов проверяется сравнением расчетных значений 
- критерия
= 
/ 
; 
= 
/ (2.19)
с критическими значениями критерия 
при заданных значениях 
и 
.
Если 
, то влияние факторов значимо (существенно). В этом случае дисперсионный анализ может быть продолжен проверкой значимости средних значений групп фактора или фактора . Для этого достаточно визуально сравнить средние значения и дисперсии признака по столбцам или строкам.
Пример 2.4 [1].При спектрографическом исследовании были проведены испытания с целью проверки влияния различных электродов (фактор ) и фотопластинок (фактор ) на признак, характеризующий интенсивность света.
Результаты испытаний и дисперсионного анализа приведены в таблице 2.13.
Т а б л и ц а 2.13
Дисперсионный анализ влияния электродов и фотопластинок
на признак, характеризующий интенсивность света
Продолжение таблицы 2.13
Продолжение таблицы 2.13
Как следует из дисперсионного анализа для электродов
, т.е. гипотеза о том, что электроды не влияют на исследуемый признак, подтверждается. Для фотопластинок 
, т.е. фотопластинки существенно влияют на исследуемый признак.
Сводка дисперсионного анализа, полученная с помощью инструмента Двухфакторный дисперсионный анализ без повторенийпакета анализа, приведена в таблице 2.14, а его диалоговое окно на рис. 2.3.
Рис. 2.3. Диалоговое окно Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений
Т а б л и ц а 2.14
Сводка дисперсионного анализа
Расчетные формулы для проведения двухфакторного дисперсионного анализа без повторений приведены в таблице 2.15.
Т а б л и ц а 2.15
Расчетные формулы
| Адрес ячейки | Формула | Адрес ячейки | Формула |
| B7 | =СУММ(b3:b6) | C21 | =a21*b21 |
| B8 | =b7/$a$21 | D21 | =a21-1 |
| B9 | =b3-b$8 | E21 | =b21-1 |
| B13 | =b9^2 | F21 | =c21-1 |
| B17 | =СУММ(b13:b16) | G21 | =d21*e21 |
| B18 | =b17/$d$21 | G23 | =СУММ(b23:f23) |
| B22 | =b8-$g$8 | I22 | =a21*g23 |
| B23 | =b22^2 | I23 | =i22/e21 |
| G3 | =СУММ(b3:f3) | H10 | =h3-$h$7 |
| H3 | =g3/$b$21 | I10 | =h10^2 |
| I3 | =b3-$h3 | I14 | =СУММ(i10:i13) |
| N3 | =i3^2 | I15 | =b21*i14 |
| S3 | =СУММ(n3:r3) | I16 | =i15/d21 |
| T3 | =s3/$a$21 | K10 | =b3^2 |
| P10 | =СУММ(k10:o10) | I19 | =h19/g21 |
| P14 | =СУММ(p10:p13) | K22 | =i16/i19 |
| P15 | =p14-c21*h8^2 | L22 | =i23/i19 |
| P16 | =p15/f21 | M22 | =FРАСПОБР(j22;d21;g21) |
| H19 | =p15-i22-i15 | N22 | =FРАСПОБР(j22;e21;g21) |
Результаты дисперсионного анализа таблиц 2.13 и 2.14 совпадают. Анализ средних значений и дисперсий по столбцам (фактор - фотопластинки) показывает, что уровень 
обеспечивает высокое среднее значение исследуемого признака и относительно невысокое рассеивание возможных значений признака около среднего значения.
При изучении совместного действия на результативный признак более двух факторов дисперсионный анализ усложняется. Этот анализ дает возможность оценить не только влияние отдельных факторов, но и влияние взаимодействия между ними.
В выше приведенных расчетах предполагалось, что каждому сочетанию факторов соответствует одно наблюдение. Результаты могут дать большую информацию, если вместо одного измерения провести несколько (два, три) измерений. Повторные испытания можно рассматривать как дополнительный фактор. В этом случае по сравнению с двухфакторным анализом без повторений можно оценить эффект взаимодействия основных факторов и .
Пример 2.5[7].Студенты провели факторный эксперимент, в ходе которого измерялось время растворения болеутоляющих таблеток в стакане воды. В эксперименте исследовались два фактора: торговая марка (N1, N2, N3) и температура воды (холодная и теплая). Продолжительность растворения (в секундах) 24 таблеток приведена в таблице 2.16.
Установить существует ли статистически значимый эффект: разновидности таблетки, температуры воды и взаимодействия между разновидностью таблетки и временем ее растворения, если уровень значимости равен 0,05?
Т а б л и ц а 2.16
Результаты эксперимента
Для ответа на эти вопросы выполним дисперсионный анализ с помощью инструмента Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями, диалоговое окно которого приведено на рис. 2.4. Результаты дисперсионного анализа представлены в таблице 2.17.
Т а б л и ц а 2.17
Сводка дисперсионного анализа
Анализ результатов свидетельствует о том, что при уровне значимости 0,05 статистически значимы эффекты:
· разновидности таблетки (разные фирмы), так как 
;
· температуры воды - 
;
· взаимодействия между разновидностью таблетки и временем ее растворения - 
,
причем значительное влияние оказывает температура воды.
Рис. 2.4. Диалоговое окно Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями
Список литературы
1. Митропольский А.К. Техника статистических вычислений. – М.: Наука, 1971. – 576 с.
2 Видуев Н.Г., Кондра Г.С. Дисперсионный анализ в теории и практике геодезических измерений. – М.: Недра, 1968. – 105 с.
3 Вознесенский В. Статистические решения в технологических задачах. – Кишинев: Картя Молдовеняскэ, 1969. – 232 с.
4 Сивец С.А. Статистические методы в оценке недвижимости и бизнеса. – Запорожье, 2001. – 320 с.
5 Бешенков С.Н. Экономико-математические методы в управлении. – Смоленск: Маджента, 2005. – 54 с.
6 Красовский П.С. Исследование и оптимизация свойств строительных материалов с применением элементов математической статистики: Учебное пособие. – Хабаровск: ДВГУПС, 2004. – 128 с.
7 Левин Д.М., Стефан Д., Кребиль Т.С., Беренсон М.Л. Статистика для менеджеров с использованием Microsoft Excel, 4-е изд.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. – 1312 с.
8 Ершова Н.М. Дисперсионный анализ данных наблюдений: Конспект лекций. – Днепропетровск: ПГАСА, 2009. – 72 с.
Приложение 2
Т а б л и ц а 1
Критические значения критерия Кохрена
Уровень значимости 
=0,05
| Число выбо рок | Число степеней свободы  (  - число наблюдений)
| ||||||||
| 0,998 | 0,975 | 0,939 | 0,906 | 0,877 | 0,853 | 0,833 | 0,816 | 0,801 | |
| 0,967 | 0,870 | 0,798 | 0,746 | 0,707 | 0,677 | 0,653 | 0,633 | 0,617 | |
| 0,906 | 0,767 | 0,684 | 0,629 | 0,589 | 0,559 | 0,536 | 0,517 | 0,502 | |
| 0,841 | 0,684 | 0,598 | 0,544 | 0,506 | 0,478 | 0,456 | 0,439 | 0,424 | |
| 0,780 | 0,616 | 0,532 | 0,480 | 0,445 | 0,418 | 0,398 | 0,382 | 0,368 | |
| 0,727 | 0,561 | 0,480 | 0,430 | 0,397 | 0,372 | 0,353 | 0,338 | 0,326 | |
| 0,679 | 0,516 | 0,438 | 0,391 | 0,359 | 0,336 | 0,318 | 0,304 | 0,293 | |
| 0,638 | 0,477 | 0,403 | 0,358 | 0,329 | 0,307 | 0,290 | 0,277 | 0,266 | |
| 0,602 | 0,445 | 0,373 | 0,331 | 0,303 | 0,282 | 0,267 | 0,254 | 0,244 |
Уровень значимости =0,01
| Число выбо рок | Число степеней свободы ( - число наблюдений)
| ||||||||
| 0,999 | 0,995 | 0,979 | 0,959 | 0,937 | 0,917 | 0,899 | 0,882 | 0,867 | |
| 0,993 | 0,942 | 0,883 | 0,833 | 0,793 | 0,761 | 0,733 | 0,710 | 0,691 | |
| 0,967 | 0,864 | 0,781 | 0,721 | 0,676 | 0,641 | 0,613 | 0,589 | 0,570 | |
| 0,927 | 0,788 | 0,696 | 0,633 | 0,587 | 0,553 | 0,526 | 0,504 | 0,485 | |
| 0,883 | 0,721 | 0,626 | 0,563 | 0,519 | 0,487 | 0,461 | 0,440 | 0,423 | |
| 0,837 | 0,664 | 0,568 | 0,508 | 0,466 | 0,435 | 0,410 | 0,391 | 0,375 | |
| 0,794 | 0,615 | 0,521 | 0,463 | 0,423 | 0,393 | 0,370 | 0,355 | 0,337 | |
| 0,754 | 0,573 | 0,481 | 0,425 | 0,387 | 0,359 | 0,338 | 0,320 | 0,307 | |
| 0,717 | 0,536 | 0,447 | 0,393 | 0,357 | 0,331 | 0,310 | 0,294 | 0,281 |
Примечание. В работе [6] приведен полный объем таблицы 1.