Постановка крайової задачіСтр 1 из 9Следующая ⇒
Міністерство освіти і науки України Львівський національний університет імені Івана Франка Факультет прикладної математики та інформатики Кафедра математичного моделювання соціально-економічних процесів
Допущено до захисту Завідувач кафедри ___________________ Проф.. Цегелик Г.Г. «___»_________2007р.
Дипломна робота
Моделювання та розрахунок задачі пружності методом скінченних елементів за допомогою пакету FEMLAB 3.3
Науковий керівник асистент Коркуна А.М. Виконав студент групи ПМС-51с Звір Сергій Володимирович
Львів – 2007 Вступ.. 2 1 Постановка крайової задачі 2 1.1 Постановка проблеми. 2 1.2 Фізична постановка. 2 1.3 Математична постановка. 2 2 Варіаційне формулювання крайової задачі 2 2.1 Вибір варіаційного принципу. 2 2.2 Варіаційна постановка задачі. 2 3 Метод скінченних елементів.. 2 3.1 Теоретичні основи методу скінченних елементів 2 3.2 Алгоритм чисельного розв’язування варіаційної задачі. 2 3.3 Тетраедні скінченні елементи з лінійними та квадратичними апроксимаціями. 23 4 Чисельна реалізація математичних моделей 30 4.1 Огляд програмного комплексу Femlab 3.0. 30 4.2 Побудова та розв’язування моделей з використанням 25 Femlab 3.0. 25 4.3 Аналіз результатів. 26 Висновки.. 28 Список використаних джерел.. 29 Вступ На сьогоднішній день стало звичним досліджувати математичні моделі, що описуються крайовими задачами, інтегральними рівняннями і т. д. за допомогою методу скінчених елементів. Теоретичні основи та практичне використання цього методу для рівнянь пружності відображені в працях Галлагера Р. [4], Образцова І. Ф. [8], Шинкаренка Г.А. [16], Савули Я.Г. [9], Зенкевич О. [12] та інших вчених. Метод скінчених елементів базується на варіаційних постановках математичних задач, на використанні базисних функцій і приводить до необхідності розв’язування “великих” систем лінійних алгебраїчних рівнянь спеціальної структури. При цьому ефективним є використання комп’ютера. Пакети і комплекси програм, які реалізують метод скінчених елементів для певних класів задач, посідають важливе місце серед програмного забезпечення сучасних ЕОМ. З існуючого розмаїття програмних продуктів можна виділити пакет Femlab 3.3 (FEM – Finite Elements Method – метод скінченних елементів) – потужне інтерактивне середовище для моделювання і розв’язування наукових і технічних проблем, які базуються на диференціальних рівняннях часткових похідних (PDE) із застосуванням скінченноелементних методів (FEM).
В наш час математичне моделювання та метод скінченних елементів широко використовуються для визначення величини напружень, що виникають при протезування зубних рядів з використанням дентальних імплантатів. На сучасному етапі великого значення набуває використання імплантатів при відновленні функції жування у випадках повної відсутності зубів на одній або обох щелепах у зв'язку з тим, що проблема надійної фіксації зубних протезів на щелепах дотепер не вирішена. Терміни "імплантат", "імплантація", запропоновані Знаменським Н.Н. , і в даний час мають на увазі застосування предметів певної форми, виготовлених з небіологічного матеріалу, що вводять в організм для виконання яких-небудь функцій протягом тривалого часу. Зубний імплантат – штучна опора, що вживлюється в кістку верхньої або нижньої щелепи, і служить основою для коронки чи протезної конструкції. Дентальні імплантати бувають: 1) Циліндричні 2) Гвинтові Зубний імплантат складається з двох основних частин – власне самого імплантату й абатмента. Абатмент – це сполучна ланка між імплантатом і зубним протезом . [1] - коронка імплантата [2] – абатмент [3] – імплантат Операція протезування за допомогою зубних імплантатів здійснюється в три етапи. На першому етапі гвинт-імплантат вставляється в щелепу хірургічним шляхом. Після періоду загоєння до гвинта-імплантату приєднується абатмент. Це другий етап операції. Потім відбувається процес, що називається «остеоінтеграція», при якому відбувається «зрощування» системи імплантату і кістки. Можна сказати, що імплантати стають частиною щелепи. На третьому етапі виготовляється і приєднується до системи зубний протез. У світовій стоматологічній практиці одним з найбільш розповсюджених матеріалів, що застосовуються для виготовлення стоматологічних імплантатів (гвинта і абатмента), є титан і сплави на його основі. Титан характеризується високою міцністю, стійкістю проти корозії, але головне - він є нейтральним для організму і не викликає алергійних реакцій і реакцій відторгнення.
Незважаючи на те що дентальні імплантати вже довший час застосовуються для реабілітації пацієнтів з частковою чи повною відсутністю зубів, все ще зустрічається така проблема протезування, як злам компонентів імплантата. Причиною невдач найчастіше є те, що в процесі функціонування зубо-щелепної системи імплантат зазнає значних навантажень, які передаються на опорну кістку. Недосконалість фізико-механічних властивостей матеріалу, з якого виготовлено імплантат, а також нераціональне протезування призводить до виникнення ділянок надмірної концентрації напружень в кістці, які перевищують поріг ії фізіологічної міцності. Такі нефізіологічні навантаження призводять до резорбції (руйнації) кістки і, в кінцевому результаті, до втрати імплантату. Отже, застосування внутрикісткової імплантації далеко не завжди приводить до стійкого і гарантованого успіху. При цьому відсоток незадовільних результатів її застосування за даними різних авторів коливається від 7% до 10% [11]. Моделювання процесів взаємодії дентальних імплантатів і кісткової тканини альвеолярних відростків щелепи та визначення пружного стану таких систем дає змогу провести раціональний вибір протезної конструкції на імплантатах у залежності від структури кісткової тканини щелепи хворого. Проведені різними авторами дослідження показали можливість і перспективність використання математичного моделювання для вивчення розподілу напруження кісткової тканини в області імплантації [3, 15]. Матвеева та спів., [7], за допомогою математичного моделювання в пакеті Ansys, вивчали просторове моделювання напрямків встановлення імплантатів на верхній щелепі. Такий підхід, на думку авторів, дозволяє робити правильний вибір протезної конструкції та уникати ускладнень, викликаних особливостями розподілу функціонального навантаження на кісткову тканину, яка оточує імплантат, та підвищити ефективність ортопедичного лікування в цілому. Подібні дослідження, з використанням методу скінченних елементів, про розподіл навантажень кісткової тканини в зоні одиночного гвинтового чи циліндричного імплантату проводились і іншими авторами [7]. У роботах [18, 19] представлені результати дослідження за допомогою скінченноелементної моделі розподілу напружень в кістковій тканині навколо блокованої системи з чотирьох та шести імплантатів з використанням пакету “Nisa” та трьох імплантатів з використанням програмного забезпечення “PATRAN”. Проте вищезгадані приклади математичного моделювання не враховували ні кількість імплантатів, ні місць їх розташування. Адже для чисельного аналізу виділялася локальна частина щелепи, що містить інтегрований в неї імплантат чи декілька імплантатів. Отже, проблема визначення потрібної кількості та довжини імплантатів на кінцях щелепи і посередині для нормального функціонування протезної конструкції при повній відсутності зубів, є актуальною в наш час та потребує досліджень, а саме з використанням математичного моделювання.
Постановка крайової задачі
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|