 |
|
Алгоритм чисельного розв’язування варіаційної задачі.
Метод скінчених елементів є методом знаходження мінімуму функціоналу.
Визначимо 
- скінченновимірний підпростір із 
розмірності 
. Виберемо у базисні функції 
, 
. Це можуть бути білінійні або квадратичні функції МСЕ. Функції 
ще називаються апроксимуючими. Тоді шукані переміщення можна записати у такому вигляді:
. (3.1)
де − загальне число степенів вільності, яке в загальному випадку не рівне числу вузлів, так як в кожен вузол може бути введено різна кількість степенів вільності.
− cтeпені вільності, які в МСЕ, як правило, забезпечуються фізичним змістом і являють собою шукані значення переміщень чи їх похідних у вузлах розрахункової сітки.
Підставивши (3.1) в (2.9), одержуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь
(3.2)
де 
– вектор вузлових значень переміщень,
– вектор зовнішніх навантажень,
– матриця жорсткості кусково-однорідного тіла 
, що утворюється із матриць жорсткості усіх елементів областей 
, 
.
Розбиття системи на скінчені елементи дає можливість представити потенціальну енергію деформації 
і роботу зовнішніх сил 
у вигляді сум по окремим елементам:
(3.3)
де 
- номер скінченного елемента
Це дозволяє складати елементи матриці і вектора із окремих компонент. Так, 
− елемент матриці і 
− елемент вектора визначаються по формулам:
(3.4)
де 
− сумування по всіх елементах, що містять і 
степені вільності: 
− компоненти матриці жорсткості і вектора зовнішніх навантажень для скінченного елемента, тобто:
(3.5)
(3.6)
де 
− область скінченого елемента.
Таким чином, МСЕ дає можливість будувати розв’язувану систему рівнянь (3.2) на основі розгляду кожного окремого скінченного елемента, що є дуже зручно в реалізації і є важливою перевагою методу.
Отже, нам потрібно дискретизувати області 
, 
, ..., 
, та на кожному скінченному елементі цих областей будувати матриці жорсткості, виходячи з пружних властивостей окремих матеріалів.
Отже, розрахунок напружено-деформованого стану конструкції в рамках лінійної теорії пружності при дії на неї статичних навантажень зводиться до розв’язку системи лінійно-алгебраїчних рівнянь. Зазвичай для цього використовують метод Гауса, метод квадратного кореня (метод Холецького), метод Зейделя та інші прямі та ітераційні методи. В результаті визначаються значення ступенів вільності. По найденому вектору ступенів вільності і апроксимаційних функціях визначається функція переміщень по всій області системи, а по ній – напруження і деформації.