Главная | Обратная связь

Разложение функций в степенные ряды.

Функция разлагается в степенной ряд или в ряд , если:

1) этот степенной ряд сходится; 2) его сумма на интервале сходимости равна .

Известно, что функцию можно разложить в ряд Тейлора. Однако, чисто формальное разложение в ряд Тейлора может привести к неверному результату, т.к.

1) ряд может сходиться к только в некоторой области; 2) ряд может сходиться, но не к ; 3) ряд может расходиться.

Рассмотрим условия разложения функции в ряд Тейлора.

Теорема 7.1. Для того чтобы ряд Тейлора сходился к функции необходимо и достаточно, чтобы остаточный член ряда стремился к 0 при .

Теорема 7.2. Если производные любого порядка функции ограничены одной и той же постоянной, т.е. , , , то ряд Тейлора сходится в к .

Теорема 7.3. Разложение функции в ряд Тейлора единственно.

Приведем разложение основных элементарных функций в степенные ряды.

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

Пример 23. Разложите функцию в ряд Тейлора по степеням .

Решение. Так как , то . Так как разложение для действительно при , то и функция разлагается в ряд Тейлора при .

Пример 24. Разложите функцию в ряд Тейлора по степеням .

Решение. Представим дробь в виде суммы простейших дробей:

и разложим каждую простейшую дробь в правой части равенства по формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

, где .

.

Это разложение имеет место лишь для , удовлетворяющих неравенству или .

 

Так как для , для , то разложение функции

верно при (как пересечение областей сходимости).

Пример 25. Разложите функцию в ряд Тейлора по степеням .

Решение. Разложим аргумент логарифма на множители: . Тогда . И, применяя формулу , где , запишем:

,

это представление верно при или .

,

это равенство имеет место при или .

Объединяя полученные результаты, получаем разложение данной функции в ряд Тейлора по степеням :

 

,

причём это разложение справедливо при