 |
|
Точка, прямая, плоскость. Типовые задачи
Аксонометрическое изображение обычно строят на основе ортогональных проекций (комплексного чертежа) предмета.
Построение аксонометрической проекции любого геометрического объекта начинается с построения аксонометрических осей (здесь и далее индекс α картинной плоскости в обозначении осей и аксонометрических проекций будем опускать). Ось zдля всех аксонометрий располагается вертикально (рис. 2). Оси x и y с соблюдением для конкретного типа аксонометрии заданных углов можно строить транспортиром с приемлемой точностью. Приблизительное построение аксонометрических осей по тангенсу углов представлено на рис. 3а (прямоугольная диметрия) и рис. 3б (прямоугольная изометрия). При этом учитывается, что tg 7°10′ ≈ 1/8, tg 41°25′ ≈ 7/8, tg 30° ≈ 3/5. Далее следует определиться, какие коэффициенты искажения будут применяться для построений – действительные или приведенные. Для простоты построений рекомендуются приведенные коэффициенты искажения. В этом случае для изометрии по всем осям и параллельно им откладываются истинные (натуральные) размеры, для диметрии по осям x и z откладываются натуральные, а по оси y (и параллельно ей) - сокращённые в два раза размеры.
а) б)
Рис. 3
& Для любого заданного типа аксонометрии положение точки в пространстве определяется: тремя аксонометрическими координатами; аксонометрической и одной из вторичных проекций; любыми двумя вторичными проекциями.
Для определения положения на чертеже аксонометрической проекции точки в заданных осях и принятых коэффициентах искажения (действительных или приведенных) строят плоскую координатную ломаную линию, проходящую через одну из вторичных проекций (рис. 4а для диметрии и рис. 4б для изометрии). Из сопоставления рисунков очевидно, что порядок построения аксонометрии точки А в обоих случаях одинаков; разница заключается в расположении осей и длине отрезков, откладываемых вдоль оси y. При построении координатной линии используют либо заданные координаты точки в виде А(xА,yА,zА), либо координаты точки снимаются с комплексного чертежа точки А (рис. 5) в принятой на нём системе координат.
а)
б)
Рис. 4
Рис. 5
& Вторичные проекции точек используют в процессе построения аксонометрии, но на готовом аксонометрическом чертеже их сохраняют в исключительных случаях.
Для построения аксонометрической проекции прямой линии достаточно построить проекции двух любых её точек. Для примера на рис. 6а изображена в диметрии прямая (отрезок) общего положения (не параллельная ни одной из плоскостей проекций), на рис. 6б – фронтальная прямая (параллельна плоскости П2, а значит yA = yB ; при этом вторичная горизонтальная проекция параллельна оси x), на рис. 6в – горизонтальная прямая (параллельна П1, а значит zA = zB ; при этом аксонометрическая проекция прямой параллельна её вторичной горизонтальной проекции).
а) б) в)
Рис. 6
Ни на одном из приведенных выше рисунков аксонометрическая проекция АВ отрезка не равна его истинной величине. Аксонометрия отрезка равна его величине только в том случае, когда отрезок параллелен какой-либо оси координат (на рис. 7а – оси x , на рис. 7б – оси y , на рис. 7в – оси z).
Для построения аксонометрической проекции плоскости достаточно построить проекции трёх любых её точек, не лежащих на одной прямой. Существует несколько способов задания плоскости на чертеже. На рис. 8а изображена плоскость общего положения (не перпендикулярная плоскостям проекций), заданная плоской фигурой – треугольником. На рис. 8б и рис. 8в – тоже плоскости общего положения, заданные соответственно двумя параллельными прямыми и следами (линиями пересечения плоскости с плоскостями проекций, где h′0α – горизонтальный след, f ″0α – фронтальный след, X α – точка схода следов). На рис. 8г изображена горизонтально-проецирующая (перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций) плоскость, при этом вторичная горизонтальная проекция плоскости – прямая линия. На рис. 8д - такая же плоскость, заданная следами, при этом фронтальный след f ″0α параллелен оси z.
а) б) в)
Рис. 7
а) б) в)
Рис. 8
г) д)
Рис. 8 (окончание)
При выполнении и защите семестровых графических работ, а также при решении задач в рабочей тетради по темам «Точка», «Прямая», «Плоскость», предлагается к решению ряд типовых задач.
& Следует понимать, что геометрические задачи в аксонометрии решают, придерживаясь тех же алгоритмов, что и на ортогональных проекциях (комплексном чертеже).
Задача 3.1 Определение следов прямой линии.
Д а н о: аксонометрическая и вторичная горизонтальная проекции прямой (АВ), рис. 9. Т р е б у е т с я: построить следы заданной прямой; определить, через какие октанты пространства проходит прямая линия (ход линии).
& Следом прямой линии называется точка пересечения линии с плоскостью проекций. В зависимости от положения прямой по отношению к плоскостям проекций П1, П2, П3 можно построить: три следа (для прямой общего положения), два – для прямой, параллельной одной плоскости проекций, один – для проецирующей прямой. Каждый след – это точка, одновременно принадлежащая прямой линии и соответствующей плоскости проекций, то есть имеющая одну из координат, равную нулю (у горизонтального следа z = 0, у фронтального y = 0, у профильного x = 0). Каждый след совпадает с соответствующей проекцией на одну из плоскостей проекций (например, горизонтальный след- с горизонтальной проекцией).
На рис. 9а представлено задание прямой (АВ). На рис. 9б – последовательность построений. Алгоритм решения задачи:
- анализируем положение прямой по отношению к плоскостям проекций; в данном случае задана прямая общего положения (рис. 6а), поэтому строим три следа;
- горизонтальный след M строится в пересечении вторичной горизонтальной и аксонометрической проекций, при этом M = M';
- для фронтального следа N вначале строится вторичная горизонтальная проекция N' (y = 0), а затем в проекционной связи N'' = N;
- для профильного следа P вначале строится вторичная горизонтальная проекция P' (x = 0), а затем в проекционной связи P''' = P.
Из расположения следов на рис. 9б видно, что заданная прямая проходит через 4 - 1 – 5 - 6 октанты.строится ии вторичной горизонтальной и аксонометрической проекций ат, равную нулю (у горизонтальн
а) б)
Рис. 9
Задача 3.2 Определение координат точки в заданной плоскости.
Д а н о: аксонометрическая проекция точки К, принадлежащей плоскости α (АВС). О п р е д е л и т ь: координаты точки К (положение точки в заданной системе координат). На рис. 10а представлено задание, на рис. 10б - окончательный вид решённой задачи, на рис. 11 продемонстрированы этапы решения.
Для определения координат точки необходимо построить в аксонометрии координатную ломаную линию. Алгоритм решения задачи:
- анализируем положение плоскости по отношению к плоскостям проекций, в данной задаче задана плоскость общего положения (рис. 8а); в этом случае действует общее правило: точка в плоскости строится с помощью прямой, лежащей в этой плоскости;
- проводим в аксонометрической проекции плоскости α через точку К любую дополнительную прямую линию (в данном случае линию А1) и строим её вторичную проекцию (рис. 11б);
- проецируем точку К на плоскость П1 – строим вторичную проекцию К' (рис. 11в);
- строим ломаную координатную линию и определяем аксонометрические координаты (рис. 11г);
- в зависимости от типа аксонометрической проекции и принятых коэффициентов искажения рассчитываем по формулам (1.3) декартовы коорди- Рис. 10 наты (например, в прямоугольной диметрии аксоно- метрическую ординату y увеличиваем в два раза).
а) б) в) г)
Рис. 11
Задача 3.3 Проведение проецирующей плоскости через заданную прямую.
Д а н о : Аксонометрическая и вторичная проекции прямой линии.
П о с т р о и т ь: проецирующую плоскость, включающую в себя заданную прямую линию.
& Через прямую линию в пространстве можно провести множество различных плоскостей, однако перпендикулярную какой-либо плоскости проекций (проецирующую) – только одну.
На рис. 12а изображено задание на аксонометрическом чертеже прямой линии (АВ). На рис. 12б через эту прямую проведена горизонтально - проецирующая плоскость α, при этом вторичная проекция α' плоскости – прямая линия, совпадающая с проекцией А'В' прямой. На рис. 12в через прямую проведена такая же плоскость, заданная следами, при этом горизонтальный след h′0α проведён через вторичную проекцию прямой, а профильный след p''′0α параллелен оси z.
а) б) в)
Рис. 12
Задача 3.4 Определение точки пересечения прямой с плоскостью.
Д а н о : аксонометрические и вторичные проекции плоскости α (АВС) и прямой линии (EF). О п р е д е л и т ь: точку пересечения прямой с плоскостью.
& Результатом пересечения прямой с плоскостью является единичное множество – точка, принадлежащая одновременно прямой и плоскости. Определяемая точка строится как пересечение заданной прямой с какой-либо прямой, лежащей в заданной плоскости.
На рис. 13а изображено задание, на рис. 13б – окончательный вид решённой задачи. На рис. 14 продемонстрированы этапы решения.
Алгоритм решения задачи заключается в последовательном выполнении следующих операций:
- анализируем положение плоскости и прямой по отношению к плоскостям проекций – в данном случае заданы прямая и плоскость общего положения (рис. 6а, 8а);
- проводим через заданную прямую (EF) горизонтально - проецирующую плоскость (посредник) γ (рис. 14б); проведение такой плоскости рассмотрено в задаче 3.3 (рис. 12б);
- строим линию пересечения вспомогательной и заданной плоскостей - линию (12) (рис. 14в); точки 1 и 2 определяются как точки пересечения сторон треугольника с плоскостью γ, линия (12) принадлежит заданной плоскости;
- строим точку К как пересечение линии (12) с линией (EF) (рис. 14г), гарантией их пересечения является то, что обе линии лежат в одной плоскости - посреднике γ; полученная точка является результатом решения задачи;
Рис. 13 - методом конкурирующих точек в предположении вида сверху определяем видимость аксонометрической проекции прямой в границах треугольника (рис. 14г).
На рис. 15 представлены последовательные этапы решения аналогичной задачи при задании плоскости следами.
а) б) в) г)
Рис. 14
а) б) в) г)
Рис. 15
Задача 3. 5 Определение линии пересечения двух плоскостей.
Д а н о: аксонометрический чертёж двух плоскостей, заданных плоскими фигурами (треугольниками): α (ABC) и δ (DEF). О п р е д е л и т ь: линию пересечения плоскостей.
& Результатом пересечения двух плоскостей является прямая линия, все точки которой принадлежат обеим плоскостям. Для определения линии пересечения достаточно построить две точки, общие для заданных плоскостей.
На рис. 16а изображено задание, на рис. 16б – окончательный вид решённой задачи. На рис. 17 продемонстрированы этапы решения.
Линию пересечения плоскостей строим, определяя точки пересечения прямых одной плоскости с другой. Алгоритм решения задачи:
- анализируем положение заданных плоскостей по отношению к плоскостям проекций, в данном случае обе плоскости являются плоскостями общего положения (рис. 8а);
- в плоскости δ выбираем прямую (EF) и определяем точку её пересечения с плоскостью α (ABC) – точку К (рис. 17б); определение такой точки рассмотрено в задаче 3.4 (здесь γ - плоскость-посредник);
- в плоскости δ выбираем прямую (ED) и определяем точку её пересечения с плоскостью α (ABC) – точку L (рис. 17в), здесь β - плоскость-посредник;
- строим прямую линию (KL), которая является линией пересечения двух плоскостей (рис. 17г);
- методом конкурирующих точек в предположении вида сверху определяем видимость аксонометрических проекций плоскостей в пределах их общей части (рис. 17г).
Рис. 16
а) б) в) г)
Рис. 17
На рис. 18 представлены последовательные этапы решения аналогичной задачи при задании одной из плоскостей следами.
а) б) в) г)
Рис.18
Многоугольник
Основой формы многих пространственных объектов являются многогранники – тела, ограниченные плоскими многоугольниками. Поэтому для построения аксонометрического чертежа пространственных объектов необходимо уметь строить проекции многоугольников, примерами которых могут служить треугольник, квадрат, прямоугольник, ромб, шестиугольник. Для построения аксонометрической проекции многоугольника достаточно построить проекции точек – его вершин, которые соединяются отрезками, образуя стороны многоугольника. На рис. 19б показана в качестве примера прямоугольная изометрия правильного шестиугольника, лежащего в горизонтальной плоскости проекций (плоскости xOy). Построения в аксонометрии сводятся к определению положения на чертеже вершин A, B, C, D, E, F по координатам xи y, снятым с комплексного чертежа (на рис. 19а – с горизонтальной проекции шестиугольника). При этом для построения вершин A и D использована только координата x(координата y – нулевая), а для построения вершин B, C ,E, F использованы обе ненулевые координаты.
В приведенной ниже таблице 1 показано, как будут выглядеть прямоугольные диметрии и изометрии некоторых плоских многоугольников, расположенных в горизонтальной плоскости xOy (или параллельно ей). Начало координат в приведенных примерах выбрано в одной их характерных точек многоугольника. В первой колонке таблицы приведена ортогональная проекция (вид сверху) многоугольника. Во второй и третьей колонках показаны его соответствующие аксонометрические проекции.
а) б)
Рис. 19
а) б)
Рис.20
На рис. 20б показано построение изометрии треугольника АВС, расположенного в плоскости xOz (фронтальной плоскости проекций) по координатам xи z, снятым с комплексного чертежа (рис. 20а). В таблице 2 продемонстрированы аксонометрии многоугольников, расположенных в той же плоскости проекций (или параллельно ей), а в таблице 3 – многоугольников, расположенных в профильной плоскости проекций yOz (или параллельно ей). Такие построения необходимы для формирования, прежде всего, аксонометрий многогранников.
Таблица 1
| Горизонтальная проекция (вид сверху) | Прямоугольная диметрия | Прямоугольная изометрия |
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
Таблица 2
| Фронтальная проекция (вид спереди) | Прямоугольная диметрия | Прямоугольная изометрия |
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
Таблица 3
| Профильная проекция (вид слева) | Прямоугольная диметрия | Прямоугольная изометрия |
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
Окружность
Построение аксонометрических проекций предметов, форма которых определяется как поверхность вращения (прямой круговой цилиндр, конус, сфера), невозможно без изображения аксонометрической проекции окружности, представляющую собой, как правило, замкнутую кривую линию – эллипс. Наибольший интерес представляют окружности, лежащие в плоскостях, параллельных (или принадлежащих) плоскостям проекций.
На рис. 21 изображены в стандартной прямоугольной изометрии проекции окружностей, параллельных горизонтальной плоскости проекций (обозначена номером 1), фронтальной (2) и профильной (3).
В соответствии с ГОСТ 2.317-2011 проекциями являются эллипсы, имеющие одинаковые соотношения размеров, и ориентированные следующим образом: большая ось (обозначена штрих-пунктирной линией и буквами б.о.) эллипса (1) расположена под углом 90° к оси z, большая ось эллипса (2) расположена под углом 90° к оси y, большая ось эллипса (3) расположена Рис.21 под углом 90° к оси x; иначе говоря, большая ось каждого эллипса перпендикулярна третьей «свободной» (не входящей в рассматриваемую координатную плоскость) оси координат. Малые оси эллипсов (обозначены м.о.), очевидно, имеют направление аксонометрических осей (параллельны им). Если изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям (в приведенных коэффициентах, равных 1), то большая ось всех эллипсов равна 1,22D, а малая ось – 0,71D, где D – диаметр окружности. Если изометрическую проекцию выполняют с искажением по осям (в действительных коэффициентах, равных 0,82), то большая ось всех эллипсов равна D, а малая ось – 0,58D.
Пример изометрической проекции детали, содержащей окружности, параллельные плоскости П1, приведен на рис. 2а.
На рис. 22 изображены в стандартной прямоугольной диметрии проекции окружностей (соответственно (1), (2), (3)), параллельных плоскостям проекций.
В соответствии с ГОСТ 2.317-2011 проекциями являются эллипсы, из которых (1) и (3) имеют одинаковые соотношения размеров, и ориентированные следующим образом: большая ось эллипса (1) расположена под углом 90° к оси z, большая ось эллипса (2) расположена под углом 90° к оси y, большая ось эллипса (3) расположена под углом 90° к оси x.
Рис. 22 Если диметрическую проекцию вы- полняют без искажения по осям (в приведенных коэффициентах, равных 1 для осей x, z и 0,5 для оси y), то большая ось всех эллипсов равна 1,06D; малая ось эллипсов (1) и (3) равна 0,35D, а эллипса (2) – 0,95D, где D – диаметр окружности. Если диметрическую проекцию выполняют с искажением по осям (в действительных коэффициентах, равных соответственно 0,94 и 0,47), то большая ось всех эллипсов равна D, малая ось эллипсов (1) и (3) равна 0,33D, а эллипса (2) – 0,9D. Пример диметрической проекции детали, содержащей окружности, параллельные плоскости П1, приведен на рис. 2б.
Эллипсы на рис. 21 и рис. 22 вписаны в ромбы и параллелограммы, которые являются проекциями квадратов, описанных вокруг каждой окружности в соответствующей плоскости проекций. Центры окружностей и точки их соприкосновения с квадратами в серединах сторон являются в аксонометрии центрами эллипсов и точками соприкосновения эллипсов с ромбами и параллелограммами в серединах их сторон. В любой аксонометрии диаметры окружностей, параллельные координатным осям, являются сопряжёнными диаметрами эллипсов и параллельны соответствующим аксонометрическим осям.
& В общем случае, построение любого из указанных эллипсов можно производить по восьми точкам (большая и малая оси, а также сопряжённые диаметры, параллельные осям проекций) с последующей обводкой по лекалу. Если построение эллипса производится с использованием проекций окружности на комплексном чертеже (или строится только дуга окружности), можно выделить на окружности некоторое количество точек и построить их аксонометрические проекции. Таким же способом можно строить окружность, лежащую в плоскости общего положения.
На практике для удобства построения аксонометрических проекций окружностей их заменяют четырёхполюсными овалами (замкнутыми кривыми, очерченными дугами окружностей), построение которых гораздо проще. В справочной литературе можно найти несколько приёмов построения овалов, заменяющих эллипсы. На рис. 23 показан вариант построения овала, вписанного в ромб (известен из школьного курса черчения). Этот приём годится для всех эллипсов изометрии.
1. В осях, соответствующих плоскости построений, строят ромб со стороной, равной размеру диаметра (или 0,82 диаметра) изобража -
емой окружности ([12] = [34]). Точка О – центр
Рис. 23 окружности (в аксонометрии – центр овала).
Большая ось овала ориентирована по большой диагонали ромба (рис. 23а).
2. Из вершин тупых углов описывают дуги окружностей, радиусы которых R равны расстоянию от вершины тупого угла до точек 1,4 или 2,3 соответственно (рис. 23б). Указанные точки являются начальными и конечными точками дуг.
3. В пересечении прямых, проведённых из вершины тупого угла к точкам 1 и 4, с большой диагональю ромба получаем центры О1 малых дуг, радиусы которых R1. Дугами этого радиуса сопрягают большие дуги овала (рис. 23в). При указанном выше способе замены эллипсов овалами не выдерживаются значения размеров большой и малой осей, которые должны быть равны соответственно 1,22D (или D) и 0,71D (0,58D), при этом более всего не выдерживается размер большой оси. Поэтому указанный приём построения овала может быть рекомендован только для небольших окружностей (например, отверстия), а для соблюдения указанных размеров осей при более точных построениях может быть рекомендован другой вариант построения овала (рис. 24). Этот же приём можно применять для построения эллипсов диметрической проекции (рис. 22).
Рис. 24
1. Проводим две оси симметрии, пересекающиеся под прямым углом. На одной из них откладываем длину большой оси овала AB (по половине размера влево и вправо от точки О), на второй – размер CK малой оси. Соединяем прямой линией точки C и B. Из центра О радиусом ОВ проводим дугу окружности до пересечения с вертикальной осью (получаем точку Е). Из точки С проводим дугу радиуса СЕ до пересечения с наклонной прямой СВ (намечаем точку F). Результат построения – на рис. 24а.
3. К отрезку FB засечками циркуля строим серединный перпендикуляр, который в пересечении с вертикальной осью даёт центр О1 большой дуги овала, а в пересечении с горизонтальной осью – центр О2 малой дуги (рис. 24б).
4. Строим вторые центры O1 и O2, симметричные построенным, и линии центров О1 – О2 , определяющие точки сопряжения больших и малых дуг овала. Радиусом R1, равным расстоянию от точки О1 до точки С (или соответственно K), проводим большие дуги овала (рис. 24в).
5. Радиусом R2, равным расстоянию от точки О2 до точки B (или соответственно А), проводим малые дуги овала (рис. 24г).
Форма многих изделий машиностроительного производства имеет в углах скругления дугами окружностей (рис. 25а). Для построения аксонометрической проекции (в данном случае изометрии) необходимо построить соответствующие этим окружностям эллипсы или заменяющие их овалы (рис. 25б) и обвести только части дуг, входящие в контур детали (рис. 25в).
А) б) в)
Рис. 25