Главная | Обратная связь

Декартовий добуток двох множин

Поняття упорядкованої множини. Кортеж

Операції над множинами. Об’єднання множин. Властивості об’єднання.

Декартовий добуток двох множин

Перетин множин. Властивості перетину

Кількість елементів 2-х і 3-х скінчених множин.

Правило суми і правило добутку

Перестановки без повторень (означення, вивід формули, приклад)

Розміщення без повторень (означення, вивід формули, приклад)

Сполуки без повторень (означення, вивід формули, приклад)

Розміщення з повторенням (означення, вивід формули, приклад)

Біном Ньютона. Виведення загальної формули. Алгоритм отримання наступного коефіцієнту.

 

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ, НАУКИ, МОЛОДЫ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

СЛОВ’ЯНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

-----------------------------------------------------------------------------------------------

КАФЕДРА ПРИРОДНИЧО-МАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН І

ПЕДАГОГІЧНИХ ТЕХНОЛОГІЙ ПОЧАТКОВОЇ ОСВІТИ

САРІЄНКО В.К.

КОШЕЛЄВ О.Л.

САРІЄНКО В.В.

 

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

До вивчення курсу

ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ

Для студентів факультету підготовки

Вчителів початкових класів

 

Слов’янськ – 2010

 

 

УДК 512 (07.07)

В.К.Сарієнко, О.Л.Кошелєв, Методичні вказівки до вивчення курсу „Елементи комбінаторики” для студентів факультету підготовки вчителів початкових класів.– Слов’янськ, 2010. – 24с.

 

Укладачі: кандидат педагогічних наук, доцент Сарієнко В.К.

кандидат педагогічних наук, доцент Кошелів О.Л.

 

Рецензенти:

доктор педагогічних наук, професор Чиж О.Н. (ЛНУ ім. Т.Шевченка)

кандидат фізико-математичних наук, доцент Перепічаєнко Є.К. (СДПУ)

 

 

Рекомендовано

кафедрою природничо-математичних дисциплін і педагогічних технологій

початкової освіти СДПУ (протокол № 2 від 26.09.2010)

 

Елементи комбінаторики

Цей курс передбачає ознайомлення студентів з поняттям комбінаторної задачі, з основними завданнями, які розв’язує комбінаторика і через них з основними положеннями дискретної математики в частині оволодіння ними молодшими школярами при вивченні математики, а також з відповідними математичними основами з теорії інформатики.

 

 

Повне чи часткове копіювання (чи тиражування)

матеріалів можливе тільки з дозволу укладачів.

 

© В.К.Сарієнко, О.Л.Кошелєв. 2010.

ЭЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ

Декартовий добуток двох множин

Почнемо з прикладу. Число 27 записується за допомогою двох цифр 2 і 7. Ці цифри слід записувати в певному порядку: спочатку 2, а потім 7. Якщо їх переставити, вийде інше число 72. Говорять, що (2;7) – упорядкована пара чисел. Упорядковану пару чисел х і у записуватимемо таким чином: (х;у). У число 44 входять дві однакові цифри. Вони утворюють упорядковану пару (4;4). Таким чином, в упорядкованих парах числа можуть повторюватися.

Упорядковані пари можна складати не тільки з чисел, але і з елементів будь-яких множин. Нехай задана множина Х і нехай х і у – елементи цієї множини (може трапитися, що х = у). Назвемо (х; у) упорядкованою парою, а х і у - компонентами або координатами цієї пари.

Пари (х₁;у₁) і (х₂;у₂) вважаються співпадаючими в тому і лише тому випадку, коли х₁= х₂ і у₁= у₂. Тому якщо х ¹ у, то пари (х; у) і (у; х) різні.

Наприклад, з букв множини Х={а; б; в} можна скласти дев'ять упорядкованих пар: (а; а), (а; б), (а; в), (б; а), (б; б), (б; в), (в; а), (в; б), (в; в).

Прикладом упорядкованої пари натуральних чисел може служити пара, складена з чисельника і знаменника дробу, – замість того щоб писати 3/5, можна записати (3; 5). При перестановці чисел 3 і 5 виходить інший дріб 5/3.

Ще більш загальне поняття упорядкованої пари виходить, якщо брати її компоненти з різних множин, наприклад компоненту х з множини X, а у - з множини Y. Хай, наприклад, задано дві множини Х={а; b, с} і Y={4; 5}. Утворимо з елементів цієї множини пари так, щоб перша компонента пари належала множині X, а друга – множині Y. Всі ці пари складають множину: {(а; 4); (а; 5); (b; 4); (b; 5); (с; 4); (с; 5)}, яку називають декартовим добутком множин X і Y і позначають X´Y.

Взагалі, декартовим добутком множин X і Y називають множину X´Y, елементами якої є всі пари (x; у) такі, що хÎХ, yÎY, тобто X´Y={(x;y)/xÎX; уÎ Y}.

Якщо множини X і Y співпадають, тобто Х=Y, то множина Х´Х складається зі всіх пар (х; у) таких, що хÎХ, yÎY. Наприклад, якщо Х={ т; п; р}, тоХ´Х={ т; т); (т;п); (т; р); (п; т); (п; п); (п; р); (р; т); (р; п); (р; р)}.

Вважають, що Х ´Æ = Æ´Х = Æ для будь-якої множини X.

Декартовий добуток множин, власне кажучи, не має ні властивість коммутативності, ні властивість асоціативності, тобто:

1) якщоХ ¹ Y, то X´Y ¹ Y ´ X;

2) якщо жодна з множинX, Y, Z не порожня, то X ´ (Y´Z) ¹ (X´Y) ´ Z.

Дійсно, елементами множини X´Y є пари (х; у) такі, що хÎХ, yÎY, а елементами множини Y´X – пари (у; х), де хÎХ, yÎY. Але при х ¹ у пари (х; у) і (у; х) різні, отже, якщо X¹Y, то множини Х´У і Y´X різна.

У Х
а	(а; 4)	(а; 5)
b	(b; 4)	(b; 5)
c	(c; 4)	(c; 5)

Елементи декартового добутку двох кінцевих множин зручно розташовувати у вигляді таблиці, де по вертикалі розташовують елементи множини X, по горизонталі - елементи безлічі Y, а елементи безлічі XY пишуть на перетинах відповідних рядків і стовпців. Так, на таблиці, приведеній нижче, зображені елементи декартового добутку множин Х={а;b;с} і Y ={4; 5}.

 

 

Вправи:

1. Назвіть п'ять упорядкованих пар дійсних чисел, що є розв’язання рівняння 2х – Зу – 7.

2. Дано дві множини: Х={б;г;д} і К={а;е;о}. Запишіть елементи множини X´У у вигляді таблиці.

3. Випишіть всі двозначні числа, в яких число десятків належить множині {8; 6; 2}, а число одиниць – множині {3; 5; 0}.

4. Складіть всі дроби, чисельник і знаменник яких – однозначне число з множини {3; 4; 5; 7}. Скільки дробів вийшло?

5. А – множина голосних букв, В – безліч глухих приголосних. Випишіть елементи множин А´В і В´А.

6. Задані множини А= { а; b; c}, В= {1; 2} і С= {2; 3; 4}.

а) Запишіть множини А´ В, А´С і В´С.

б) З'ясуйте, які елементи належать множині (А´В)Ç(А´С) і
А´(ВÇС) . Чи вірно, що (А´В)Ç(А´С) = А´(ВÇС)?

7. Доведіть, що для будь-яких множин А, В, С справедлива наступна рівність:

А´(ВÈС) = (А´В)È (А´С).

 

2. Кортежі. Якщо задана множина X, то з її елементів можна складати не тільки упорядковані пари, але і упорядковані трійки, четвірки елементів і т.д. Наприклад, букви слова «телефон» утворюють упорядковану сімку. Введемо загальне математичне поняття, окремими випадками якого є і упорядковані пари, і упорядковані трійки, і упорядковані четвірки.

Хай задані множини X₁, Х₂, . . ., Х_п. Візьмемо який-небудь елемент а₁ з множини Х₁, потім елемент а₂ з множини Х₂, елемент а_п з множини Х_п. Вибрані елементи розташуємо по порядку: (а₁; а₂; . . .; а_п). Ми отримуємо упорядковану п-ку елементів (читається: «енка»), вибраних з множини Х₁, X₂, . . ., Х_п. Замість слів «упорядкована п-ка» говорять коротше – «кортеж» (французьке слово «кортеж» означає урочистий хід, наприклад, говорять «весільний кортеж» або «кортеж автомашин»). Число п називають довжиною кортежу, елементи а₁; а₂; . . .; а_п – його компонентами.

Множини X₁, Х₂, . . ., Х_п можуть мати загальні елементи або навіть співпадати одна з одною. Наприклад, слово «телефон» – кортеж довжини 7, він складений з елементів множини Х={ а; б; в; . . .; ю; я} (при цьому в слово «телефон» входять не всі букви цієї множини, а лише частина цих букв). Речення «У мене задзвонив телефон» - кортеж довжини 4, компонентами якого є слова української мови. Кожне з цих слів – кортеж, складений з букв. Таким чином, компонентами кортежу можуть бути і кортежі. Можна складати і кортежі, компонентами яких є множини, наприклад ({ а; b); { c; d}; { е; f}).

У математиці прикладом кортежу може служити набір цифр, що входять в десятковий запис якого-небудь числа. Цей кортеж складений з цифр 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, причому цифри можуть повторюватися, а при перестановці цифр може утворитися інше число. Так, кортеж цифр числа 112 231 має вигляд (1; 1; 2; 2; 3; 1).

Два кортежі (а₁; а₂; . . .; а_п )і (b₁; b₂; …b_т)називають рівними, якщо вони мають однакову довжину, тобто п = т, і кожний компонент першого кортежу рівний компоненту другого кортежу з тим же номером, тобто a₁= b₁, a₂= b₂ ..., а_п = b_т .

Наприклад, кортежі (а; b; с) і (а; b; с) – рівні, а кортежі (а; b; с) і (b; а; с) – не рівні. Так само не рівні і кортежі (а; b; с) і (а; b; с; d).

Використовуючи поняття кортежу, можна визначити поняття декартового добутку трьох, чотирьох, і взагалі п множин.

Нехай задані п множин: А₁, А₂ . . ., А_п (множини можуть мати спільні елементи). З елементів цих множин утворимо кортежі довжини п, перша компоненту яких належить множині А₁,друга – множині А₂ . . ., п-на – множині А_п. Множину таких кортежів називають декартовим добутком множин А₁, А₂ . . ., А_п і позначають А₁´ А₂ ´. . . ´ А_п .

Наприклад, декартовий добуток множин А₁ = {1;2}, A₂ = {3; 4}, А₃ ={5; 6; 7} має вигляд: А₁´ А₂ ´ А₃ = {(1; 3; 5); (1; 3; 6); (1; 3: 7); (1; 4; 5); (1; 4; 6); (1; 4; 7); (2; 3; 5); (2; 3; 6); (2; 3; 7); (2; 4; 5); (2; 4; 6): (2; 4; 7)}.

 

Вправи

1. Порівняйте поняття кортежу і множини. Вкажіть, в чому їх схожість і в чому відмінність.

2. Запишіть множини різних букв слова «паралелограм». Запишіть кортеж букв в цьому слові. Яка довжина цього кортежу?

3. Скільки цифр в записі числа 235535? Скільки різних цифр в записі цього числа?

4. Сформулюйте завдання 3, використовуючи поняття множини і кортежу.

5. На множині N всіх натуральних чисел задано рівняння . Назвіть декілька четвірок чисел, що належать множині розв’язань Т даного рівняння. Чи вірно, що (3; 1; 9; 3) Î Т?

6. Утворіть будь-які кортежи довжини 3 з элементів множини А={а; b; с; d}

7. Використовуючи цифри 2, 7, 0, 4, запишіть всілякі тризначні числа (цифри в записі числа не повторюються).

8. Задані множини: А={а; b; с}, В = { т; п}, С = { х; у; z}. Запишіть множини: А´В´С і В´А´С. З'ясуйте, які з наступних висловів істинні, а які помилкові:

а) (b, т, х)Î А´В´С; б) (b, т, х)Ï А´В´С ; в) А´В´С = В´А´С.

3. Комбінаторика. Правило суми. На практиці часто доводиться вибирати з деякої множини об'єктів її підмножини, розташовувати елементи якоїсь множини в тому або іншому порядку і т.д. Так, майстрові доводиться розподіляти різні види робіт робочим, офіцерові – вибирати наряд з солдатів взводу, шахістові – з декількох ходів вибирати якнайкращий. Оскільки в таких завданнях йдеться про ті або інші комбінації робіт, солдатів, ходів і т. д., їх називають комбінаторними. Областьматематики, в якій вивчають комбінаторні завдання, називають комбінаторикою. По суті справи, в комбінаториці вивчають скінчені множини, їх підмножини, відображення, а також кортежі, складені з елементів скінчених множин. Тому комбінаторику можна розглядати як частину теорії скінчених множин.

Розв’язання більшості комбінаторних завдань засноване на двох простих правилах, які називають правилами суми і добутку. Правило суми дозволяє знайти число елементів в об'єднанні двох скінчених множин, а правило добутку – число елементів їх декартового добутку.

Позначимо число елементів скінченої множини X через п(Х), множину, що складається з п елементів, назвемо п-множиною. Наприклад, якщо Х = {а; b; с; d; е; f}, то п(Х) = 6.

Нехай X містить т елементів, а У містить п елементів. Знайдемо, скільки елементів містить об'єднання XUУ. Однозначну відповідь на це питання можна дати лише у разі, коли множини X і У не перетинаються. В цьому випадку множина XUУ містить т+п елементів. Наприклад, якщо Х={а; b; с; d}, У={e; f}, то X U У = {а; b; с; d; е; f } містить 4+2 = 6 елементів. Таким чином, справедливо наступне твердження.

Якщо множина X містить т елементів, а множина У – п елементів, причому ці множини не перетинаються, то XUУ містить т+п елементів.

Іншими словами, з X ÇУ = Æ слідує

n(XUY) = n(X)+ п(Y). (1)

Це очевидне твердження називають в комбінаториці правилом суми.

У разі, коли перетин множин X і У не порожній, справа йде складніше. Наприклад, об'єднання множин Х = {а; b; c; d; е}і Y={d; е; g }складається лише з 6 елементів: XUУ = {а; b; c; d; е; g}. Це пояснюється тим, що елементи d і е належать і X, і Y, а в об'єднання XUУ ці елементи входять лише один раз (для множин не має сенсу говорити, що деякий елемент входить в них кілька разів). Тому з суми 5+3 треба відняти 2, тобто число елементів перетину XUУ

Взагалі, для будь-яких двох множин X і У справедлива рівність:

п (X U У) = п (Х) + п (Y) – n (XÇУ).

Отже, число елементів об'єднання двох множин дорівнює сумі чисел елементів в кожному з них, зменшеною на число елементів перетину цих множин.

Відмітимо, що в початковій школі при вивченні додавання також виходять з об'єднання множин, але при цьому, звичайно, вважають, що вони не мають спільних елементів.

Вправи

1. З 40 студентів групи 35 чоловік успішно склали іспит з математики, а 37 - з мови. Двоє студентів отримали незадовільні відмітки з обох предметів. Скільки студентів мають академічну заборгованість?

2. З 80 школярів 40 грають у футбол, а 50 – у волейбол, причому 27 школярів грають і у футбол, і у волейбол. Скільки школярів грає хоч в одну з цих ігор? Скільки школярів грає лише в одну з цих ігор?

3. З 100 студентів англійську мову вивчають 28 чоловік, німецьку - 30, французький - 42, англійський і німецький - 8, англійський і французький - 10, німецький і французький - 5, всі три мови вивчають троє студентів. Решта студентів вивчає іспанську мову. Скільки студентів вивчають іспанську мову? Скільки студентів вивчають тільки одну мову?

4. У класі 35 учнів, з них 20 відвідують математичний гурток, 11 – фізичний, 10 учнів не відвідують ні одного гуртка. Скільки учнів відвідують обидва гуртка? Скільки учнів відвідують тільки математичний гурток?

5. Розглянуто певну множину натуральних чисел. Відомо, що серед них є 100 чисел, кратних 2, 115 чисел кратних 3, 120 чисел, кратних 5, 45 чисел, кратних 6, 38 чисел, кратних 10, 50 чисел, кратних 15, 20 чисел, кратних 30. Скласти діаграму Венна і визначити, скільки чисел у даній множині?

6. У шкільному буфеті снідали 92 учня. Бутерброди взяли 47 учнів, молоко – 38, млинці – 42, бутерброди і молоко – 28, бутерброди і млинці – 26, молоко і млинці – 31. Бутерброди, молоко і млинці взяли 25 учнів, а декілька школярів взяли пиріжки. Скільки учнів взяли пиріжки?

7. У групі 10 дівчаток і 15 хлопців. Скількома способами з цієї групи можна вибрати:

а) одного хлопця;

б) одного хлопчика або одну дівчинку;

в) одного хлопчика і одну дівчинку?

 

1. Комбінаторика. Правило добутку. Друге основне правило комбінаторики стосується підрахунку числа кортежів, які можна скласти з елементів даних кінцевих множин. Розглянемо спочатку таке завдання.

Скільки пар виду (х_к; у_і) можна скласти з елементів множини Х = {х₁, х₂, х₃, ..., х_п}і Y={у₁, у_2, у₃, ... ,у_т}?

Запишемо всі ці пари у вигляді наступної таблиці:

(х₁;у₁), (х₁;у₂), (х₁;у₃), . . ., (х₁;у_т),

(х₂;у₁), (х₂;у₂), (х₂;у₃), . . ., (х₂;у_т),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(х_п;у₁), (х_п;у₂), (х_п;у₃), . . ., (х_п;у_т).

Ми бачимо, що вона складається з п рядків, в кожному з яких міститься т елементів. Значить, за правилом прямокутника загальне число пар дорівнює т×п.

Отже, число упорядкованих пар, які можна скласти з елементів п-множини X і т-множини Y, дорівнює т×п, тобто добутку числа елементів множини Х на число елементів множини Y.

 

Множину упорядкованих пар, складених з елементів множин X і Y, ми назвали декартовим добутком цих множин і позначили X´Y. Тому доведене твердження можна коротко записати так: n(X´Y)=n(X) × n(Y).

Можна довести, що справедливим є більш загальне

твердження, яке называється правилом добутку.

п(Х₁ ´ Х₂ ´. . .´ Х_п) = п(Х₁) × п(Х₂) × . . .× п(Хп)

У комбінаториці рівність (1) зазвичай формулюють так:

Якщо елемент х можна вибрати т способами, а елемент у можна вибрати п способами, то упорядковану пару (х; у) можна вибрати т×п способами.

Приклад 1. З села А в село В ведуть три дороги, а з В в С ведуть дві дорогі. Скількома способами можна пройти з А в С через В?

Щоб розв’язати задачу, позначимо дороги з А у В числами 1, 2 і 3, а з В у С – буквами а і b. Тодікожен варіант шляху з А в С задається парою, що складається з числа і букви. Наприклад, шлях, виділений на малюнку, задається парою (2; а). Але число пар такого виду за правилом добутку рівне 3 × 2 = 6. Ось ці варіанти: (1; а), (2; а), (3; а), (1; b), (2; b), (3; b).

Іноді для розв’язання завдань доводиться користуватися узагальненим правилом добутку. Буває, що хоча різні варіанти вибору елементу увизначаються вже зробленим вибором елементу х, число способів вибрати упри будь-якому виборі ходне і те ж. В цьому випадку пару (х; у)теж можна вибрати т×п способами, де т - число способів вибрати елемент х, a n – число способів вибрати упісля того, як елемент хуже вибраний.

Приклад 2. Знайдемо число слів, що містять 4 букви, в яких будь-які дві сусідні букви різні (число букв в алфавіті рівне 33; при цьому допускаються і слова, позбавлені смислу, наприклад „ваха”).

Першу букву слова можна вибрати 33 способами. Після того, як вона вибрана, наступну букву можна вибрати лише 32 способами, оскільки повторити вибрану букву не можна. Третя буква відмінна від другої, хоч і може співпадати з першою, а тому її можна вибрати 32 способами, так само як і четвертую. Тому загальне число способів вибору дорівнює 33 × 32 × 32 × 32 = 1081344.

Вправи:

1. Є п'ять видів конвертів без марок і чотири види мазкий. Скількома способами можна вибрати конверт і марку для посилки листа?

2. Скількома способами можна із слова «будівля» вибрати дві букви, одна з яких голосна, інша приголосна?

3. Скількома способами можна із слова «космонавт» вибрати дві букви, одна з яких голосна, а інша приголосна?

4. Скількома способами можна вказати на шахівниці два квадрати - білий і чорний?

5. Скількома способами можна вибрати на шахівниці білий і чорний квадрати, які не лежать ні на одній горизонталі і ні на одній вертикалі?

6. З 12 слів чоловічого роду, 9 жіночого і 10 середнього роду треба вибрати по одному слову кожного роду. Скількома способами це можна зробити?

7. Скільки існує складів, у яких перша буква голосна, а друга приголосна?

8. Скільки шахістів приймало участь у турнірі, якщо кожний з них зіграв по одній партії, а всього було зіграні 210 партій?

9. Є три міста – А, Б, В. З міста А в місто Б ведуть 6 шляхів, а з міста Б у місто В – 4 шляхи. Скількома способами можна проїхати з міста А у місто В?

10. В країні Чудес окрім цих трьох міст побудували ще одне – місто Г, і нові шляхи: з А у Г – 2 шляхи, з Г у В – 3 шляхи. Скількома способами можна тепер доїхати з А у В?

11. Скількома способами вибрати одну з голосних і одну приголосну зі слова а) „цукат”; б) „телефон”?

12. Складіть автомобільні номери, які складаються з 4 цифр. Скільки таких номерів можна скласти, якщо:

а) використати 10 цифр;

б) використати тільки непарні цифри?

13. Скількома способами з 5 конвертів, 4 марок і 6 листівок можна вибрати два предмета з різними назвами?

14. Абетка племені М складається з 3 букв: а, м, ю. Слова мови цього племені складаються не більше як з 4 букв. Скільки слів у мові племені?

15. У фермера 20 овець і 24 корови. Для закупівлі кормів йому запропонували продати 1 овечку і 2 корів. Скількома способами фермер може вибрати для продажу названі три тварини? Скількома способами він може продати ще три тварини, якщо тепер буде продавати 2 овечки і 1 корову?

16. Кидають дві монети. Скільки різних варіантів випадання „орел” – „решка” може при цьому статися?

 

Упорядковані множини. Перестановки. Кінцева множина X називається упорядкованою, якщо її елементи перенумеровані певним чином: Х = {х₁, х₂, х₃, ..., х_п}.Поняття упорядкованої множини – окремий випадок поняття кортежу. Воно виділяється із загального поняття кортежу умовою, що в упорядкованій множині всі елементи різні. Наприклад, кортеж (а; б; а; з; а; к) не є впорядкованою множиною, а (а, б, в, г, д) – упорядкована множина.

Одну і ту ж множину можна упорядкувати різними способами. Наприклад, множину школярів в класі можна упорядкувати за віком, зростом, вагою, алфавітом і т.д. Розв’яжемо наступне завдання.

Скількома способами можна упорядкувати т-множину X?

Кожне впорядкування полягає в тому, що якийсь елемент отримує номер 1, якийсь – номер 2 . . ., якийсь – номер т. Номер 1 може отримати будь-який з елементів множини X. Значить, вибір першого елементу можна зробити т способами. Якщо перший елемент вибраний, то на друге місце залишається лише (т –1)кандидат, оскільки повторити зроблений вибір не можна. Значить, маємо т – 1 спосіб вибору другого елементу. Третій елемент можна вибрати (т – 2) способами і т.д. Останній елемент можна вибрати лише одним способом – решта елементів отримали свої місця, і залишився лише один елемент, який і займає т-не місце. За правилом добутку отримуємо, що загальне число способів упорядкування дорівнює т×(т–1)×(т–1)×. . .×3×2×1.

Добуток перших т натуральних чисел в математиці називають„т – факторіал” і позначають т! . Наприклад, 4! = 1×2×3×4 = 24. Таким чином, число різних упорядкувань m-множини X дорівнює т! .Різні упорядкування m-множини складаються з одних і тих же елементів, а відрізняються один від одного лише порядком цих елементів. При цьому елементи в них не повторюються. Тому їх називають перестановками без повторень з т елементів. Число таких перестановок позначають Р_т (від французького слова permuta­tion — «перестановка»). Таким чином ми довели, щоP_m= m!.

Наприклад, з чотирьох букв а; b; c можна скласти 3! = 6 пе­рестановок:

а b c а c b b c а c b а c а b b а c

Таким чином: Означення. Перестановками з п елементів називається будь-яке упорядкування п-елементної множини.