Главная | Обратная связь

Б) розміщення без повторень

Так само розв’язується більш загальне завдання.

Скільки упорядкованих k-множин можна скласти з елементів т-множини X?

Відмінність цього завдання від попереднього полягає в тому, що складання впорядкованої k-множини закінчується, коли ми виберемо k елементів. Тому, щоб знайти число таких впорядкованих підмножин, треба перемножити k чисел: т, т – 1, т – 2 і т.д. Останнє з них рівне m–k+l (легко перевірити, що в множині { т; т –1; . ..; m–k+l} міститься k чисел). Тому число eпорядкованих k-множин, складених з елементів т-множини X, дорівнює т×(т – 1)×(т – 2)×. . .×(m – k + 1).

Ці впорядковані т-множини називають розміщеннями без повторень з т елементів по k, а їх число позначають . Ми довели, що

= т×(т – 1)×(т – 2)×. . .×(m – k + 1). (*)

Формулу для можна записати інакше, помноживши і поділивши першу частину формули (*) на 1×2×... × (т – k). Отримаємо:

При цьому і вважається 0! = 1.

Вправи

Розміщення без повторень

1.Скільки чотиризначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 0?

2.Скількома способами можна розподілити три призових місця на чемпіонаті по футболу, в якому приймають участь 18 команд?

3. Скільки сигналів можна подати чотирма сигнальними прапорцями різного кольору?

4. Скільки двозначних чисел можна скласти з цифр 3 5 7 0?

5. Скількома способами можна розподілити 5 путівок серед 18 бажаючих у різні будинки відпочинки?

6. У групі 29 студентів. Треба вибрати старосту, його заступника і профорга. Скількома способами можна це зробити, якщо кожний студент може займати тільки одну посаду?

7. Розв’язати рівняння: а) ; б) А = х×Р_х-2 ; в) А = 4×А ;

г) , д) А + А + А = 20.

8. Скількома способами можна скласти трибарвний прапор з трьома горизонтальними смугами однієї і тієї ж ширини, якщо є матерія п'яти різних квітів? Розв’яжіть те ж завдання, якщо одна із смуг повинна бути червоною.

9. Скільки можна скласти тризначних чисел з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, якщо жодне з цих чисел не містить двох цифр, що повторюються?

10. Клавіатура піаніно містить 88 клавіш. Скільки різних музичних фраз із 6 нот можна скласти, щоб не допускати в одній фразі повторення звуків?

11.Зашифровані знаки складаються з точок і тире. Скільки знаків можна створити, якщо кожний з них складається з 5 елементів?

12. Учні 9 класу вивчають 12 предметів. Скількома способами можна скласти розклад з 6 предметів, щоб усі уроки були різні? Якщо 5 предмети виставляються по одному разу, а один з предметів треба виставити двічі?

13.Команда „Шахтар” налічує 28 гравців, у складі яких 3 воротаря. Скільки варіантів складу команди може виставити на гру тренер, якщо окрім воротарів усі інші гравці рівнозначні?

14. Скільки різних натуральних чисел, які складаються не більше ніж з 3 знаків, можна скласти з цифр 2, 4, 5, 8?

15.Скільки різних чотиризначних чисел можна утворити з 10 цифр, у яких перша цифра непарна, а інші три парні? У яких одна цифра парна, а три непарні? У яких дві цифри парні і дві непарні?

 

Розміщення з повтореннями.

16.Кожний телефонний номер складається з 7 цифр. Скільки усього телефонних номерів з цифр 2, 3, 5 і 7?

17. Скільки тризначних чисел можна скласти з цифр 2, 3, 4, 5? З цифр 3, 5, 6, 0?

18. На першому поверсі 6-поверхового будинку сіли у ліфт 10 мешканців. Люди можуть виходити з ліфта на кожному поверсі. Скількома способами можуть бути розподілені пасажири ліфта на 6 поверхах?

19. Скільки символів можна закодувати у п’яти знаках, які складаються з точок і тире? З точок, тире і зірки?

20. Скільки різних автомобільних номерів можна виготовити, якщо кожний номер складається з 2 букв (використовуються 30 букв) і 4 цифр?

21. Скільки різних автомобільних номерів можна виготовити, якщо кожний номер складається з 2 букв, з яких перша буква А і 4 цифр (використовуються 30 букв)?

22. Групі з 10 туристів (4 дітей і 6 дорослих) запропонували відвідати 5 музеїв, причому у два з них дітей не пускають. Скільки існує способів розподілення туристів по музеях?

23. Номери трамвайних маршрутів колись позначалися двома різноколірними ліхтарями.

Яку кількість різних маршрутів можна позначити, якщо використати ліхтарі 6 кольорів?

24. Два листоноші повинні рознести 8 листів по 8 адресам. Скількома способами вони можуть розподілити роботу?