Главная | Обратная связь

Комплексні числа та дії над ними

1.1. Поняття комплексного числа

Комплексним числом (в алгебраїчній формі) називається вираз

,

де – дійсні числа; – уявна одиниця, , .

Числа і називаються відповідно дійсною і уявною частинами комплексного числа . Позначаються

.

Множина всіх комплексних чисел позначається .

Будь-яке дійсне число можна розглядати як комплексне число , у якого уявна частина дорівнює нулю: . Таким чином, множина дійсних чисел є підмножиною множини комплексних чисел : .

Комплексне число , у якого дійсна частина дорівнює нулю, а уявна частина відмінна від нуля, називається чисто уявним.

Два комплексних числа і називаются рівними, якщо відповідно рівні їх дійсні та уявні частини:

.

Комплексне число рівне нулю , якщо рівні нулю його дійсна та уявна частини:

.

Зауваження. Для комплексних чисел не існують поняття “більше”, “менше”.

Комплексне число називається протилежним до числа .

Два комплексних числа і , у яких дійсні частини однакові, а уявні відрізняються тільки знаком, називаются комплексно спряженими. Очевидно, що .

1.2. Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі

Операції додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до натурального степеня здійснюються за правилами дій над многочленами з врахуванням умови і зведенням подібних.

Зокрема, додавання і віднімання комплексних чисел і здійснюються покомпонентно:

; .

Множення комплексних чисел і здійснюється за правилом множення двочленів з урахуванням умо­ви і зведенням подібних:

.

Зауваження 1. Для множення комплексного числа на дійсне число досить кожну його компоненту по­множити на це число : .

Зауваження 2. Знайдемо натуральні степені уяв­ної одиниці: . От­же

.

Зауваження 3. При піднесенні комплексного числа до натурального степеня можна застосовувати відомі з елементарної ма­тематики формули скороченого множення.

Зауваження 4. Сума і добуток двох комплексно спряжених чисел і є дійсним числом:

;

Зауваження 5. Дійсну і уявну частини комплексного числа можна виразити через саме число та йому спряжене :

; .

Ділення комплексних чисел і , виконується так: 1) треба чисельник і знаменник дробу до­множити на число , спряжене до знаменника ; 2) врахувати, що , і звести подібні; 3) почленно розділити чисельник на знаменник і одержати частку в алгебраїчній формі.

.

Зауваження 6. Основні властивості розглянутих арифметичних операцій над комплексними числами співпадають з відповідними властивостями аналогічних операцій над дійсними числами. Тому для комплексних чисел залишаються справедливими всі теореми, правила, формули, що виведені для дійсних чи­сел на підставі цих властивостей.

Приклад. Виконати дії над комплексними числами в алгебраїчній формі:

.

Розв’язання. Виконуємо дії як над многочленами:

.

1.3. Геометрична інтерпретація. Модуль і аргумент

комплексного числа

Якщо на площині вве­дено прямокутну декартову систему координат , то між множиною всіх точок цієї площини і множиною комплексних чи­сел можна встановити взаємно од­нозначну відповідність: кожному комплексному числу відповідає єдина точка і навпаки (рис. 1). Дійсні числа зображаються точками осі абсцис , тому вісь називається дійс­ною віссю. Чисто уявні числа зображаються точками осі ординат , тому вісь на­зивається уявною віссю. Чис­лу відповідає початок координат .

Координатна площина , яка зображає множину всіх комплексних чисел , називається комплексною площиною або -пло­щиною.

Зауваження 1. Комп­лекс­не число можна також зобразити радіус-век­тором , що виходить із початку координат і закінчується в точці (рис. 1).

Зауваження 2. Додавання і віднімання комплексних чи­сел можна здійснювати за правилами (трикутника і па­ралелограма) відповідних опе­рацій над векторами (рис. 2). Множення комплексних чисел можна розглядати як ще один вид (поряд зі скалярним і векторним) добутку плоских векторів.

Якщо на комплексній площині (рис. 1) ввести також полярну систему координат з полюсом у початку де­картової системи координат і полярною віссю, суміщеною з віс­сю , то точку , що зображає комплексне число можна задати полярними координатами .

Полярний радіус (довжина радіус-вектора ) нази­вається модулем комплексного числа і позначається .

Очевидно, що .

Полярний кут (кут між радіус-вектором і полярною віссю ) називається аргументом комплексного числа і позначається .

Аргумент , як кут повороту, визначається з точністю до сталого доданку вигляду (довільного чис­ла повних обертів).

Єдине значення , що задовольняє умову , називається головним значенням аргументу і позначається .

Отже,

Головне значення аргументу визначається за формулою:

Зауваження 3. Для числа модуль дорівнює нулю , а аргумент довільний.

Зауваження 4. У рівних комплексних чисел модулі також рівні , а аргументи зв’язані співвідношенням , , тобто відрізняються на доданок .

1.4. Тригонометрична і показникова форми

комплексного числа

Використовуючи зв’язок декартових і полярних координат , , комплексне число можна подати у вигляді

.

Вираз називається тригонометричною формою комплексного числа.

Перехід від алгебраїчної до тригонометричної форми задається співвідношеннями:

; ; .

Якщо звернутись до основної формули Ейлера

,

(її доведення дається в теорії рядів), то від тригонометричної форми можна перейти до показникової форми комплексного числа .

Зауваження. З основної формули Ейлера випливають допо­міжні формули Ейлера:

; ;

; .

Приклад 1. Довести тотожність:

.

Розв’язання. Перейдемо до експонент, скористаємося фор­мулою часткової суми геометричної прогресії, потім від експонент повернемось до тригонометричних функцій:

.

Приклад 2. Зобразити на комплексній площині і подати в тригонометричній та показниковій формах наступні комплексні числа, що задані в алгебраїчній формі:

; ; ; ; .

Розв’язання. Побу­дуємо задані числа на комп­лексній площи­ні (рис. 3):

Знайдемо модуль і го­ловне значення аргумен­ту кожного з даних чисел та запишемо їх у тригонометричній та показниковій формах:

:

;

;

;

;

.

: ; ;

; ;

.

: ; ;

;

.

: ; ;

;

; .

: ; ;

;

; ;

.

1.5. Дії над комплексними числами

в тригономет­ричній і показниковій формах

Якщо і – два комплексні числа в тригонометричній формі, то їх добуток:

.

Добутком двох комплексних чисел і є комплексне число, модуль якого дорівнює добутку модулів, а аргумент – су­мі аргументів співмножників.

Отже,

; ;

; .

Якщо і – два комплексні числа в тригонометричній формі, причому відмінне від нуля , то їх частка:

.

Часткою двох комплексних чисел і , де дільник , є комплексне число, модуль якого дорівнює частці модулів діленого і дільника , а аргумент – різниці аргу­ментів діленого і дільника .

Отже,

; ;

; .

Натуральним степенем комплексного числа називається комплексне число, отримане множенням числа самого на себе раз, де – натуральне число.

Із правила множення комплексних чисел в тригонометричній формі випливає перша формула Муавра:

.

Коренем -го степеня з комплексного числа називається таке комплексне число, -й степінь якого дорівнює :

Очевидно, що корінь -го степеня з нуля дорівнює нулю.

Якщо комплексне число відмінне від нуля , то корінь -го степеня має рівно різних значень, що визначаються за другою формулою Муавра:

,

де ; – арифметичне значення кореня з додатного числа.

На комплексній площині всі корені -го степеня з комплексного числа зображуються вершинами правильного -кутника, вписаного в коло з центром у початку координат і радіусом .

Приклад 1. Піднести до степеня: .

Розв’язання. Запишемо число в тригонометричній формі

.

За першою формулою Муавра

.

Приклад 2. Знайти всі значення кореня:

а) ; б) .

Розв’язання.

а) Запишемо підкореневе число в тригонометричній формі

.

За другою формулою Муавра

, де .

При :

.

При :

.

б) Запишемо підкореневе число в тригонометричній формі

.

За другою формулою Муавра

, де .

.

При .

При .

При

.

1.6. Многочлени. Розкладання на множники.

Розв’язання квадратних рівнянь

Функція комплексної змінної

називається многочленом -го степеня стандартного вигляду.

Тут – комплексний аргумент: – степінь многочлена; – сталі ком­плексні коефіцієнти; називається старшим коефіцієнтом, причому ; називається вільним членом.

Теорема 1 (теорема Безу). При діленні многочлена на різницю остача від ділення дорівнює .

Доведення. . Нехай , тоді .

Наслідок 1. Якщо – корінь многочлена , то цей многочлен ділиться без остачі на різницю , тобто розкладається на множники

,

де частка – многочлен на одиницю меншого степеня.

Теорема 2 (основна теорема алгебри). Будь-який много­член ненульового степеня має хоча б один корінь (дійсний чи комплексний).

Наслідок 2. Будь-який много­член ненульового сте­пе­ня має рівно коренів, серед яких можуть бути однакові.

Наслідок 3. Будь-який много­член ненульового сте­пе­ня розкладається на множники у вигляді:

,

де – старший коефіцієнт; – різні (дійсні чи комплексні) корені; – відповідні кратності цих коренів, причому .

Корені квадратного рівняння

з комплексними коефіцієнтами знаходяться за відомими формулами

,

де – одне зі значень квадратного кореня з дискримінанта .

На множині комплексних чисел для коренів квадратного рівняння залишається справедливою теорема Вієта:

, .

Приклад. Розв’язати квадратне рівняння:

а) ; б) ;

в) .

Розв’язання.

а) ; ;

.

б) ;

; ;

; .

в) ;

;

;

; .

 

2. Топологія множини комплексних чисел.

Комплексні функції дійсної змінної

2.1. Відстань між точками. Окіл точки.

Нескінченно віддалена точка.

Розширена комплексна площина

Розглядається комплексна площина .

Відстанню між точками і , що зображають комплексні числа і , називається довжина відпо­відного вектора :

,

тобто відстань між комплексними числами і дорівнює модулю їх різниці .

Нехай – довільне додатне дійсне число .

Множина точок , що задо­вольняють умову , на­зиваєть­ся -околом скінченної точки . Окіл точки – це внутрішність круга з цент­ром в цій точці і радіусом ( -окіл точки заштрихований на рис.4).

Для комплексних чисел особливу роль відіграє символ – нескінченно віддалена точка.

Зауваження 1. Для невластивого комплексного числа модуль дорівнює , а поняття аргументу, дійсної та уявної частини позбавлені змісту.

Зауваження 2. Нескінченно віддалена точка – це зовнішність круга нескінченно великого радіуса з центром у початку координат. Іншими словами, нескінченно віддалена точка – це об’єднання всіх точок кола нескінченно великого радіуса з центром у початку координат.

Вся комплексна площина , що доповнена нескінченно віддаленою точкою , називається розширеною комплексною площиною .

Зауваження 3. Склеюючи всі точки кола нескінченно великого радіуса з центром у початку координат, отримуємо сферу – ще одне зображення розширеної множини комплексних чисел . Точка нічим не відрізняється від інших точок: можна розглядати її окіл, перетин ліній в і т.п.

Нехай – довільне додатне дійсне число .

Множина точок , що за­довольняють умову , на­зи­ваєть­ся -околом нескінченно віддаленої точки . Окіл точки – це зовнішність круга з цент­ром в початку координат і радіусом ( -окіл точки заштрихований на рис.5).

 

Наочне уявлення про окіл нескінченно віддаленої точки дає стереографічна проекція, що визначає взаємно однозначну відповідність точок розширеної комплексної площини та точок сфери Рімана – сфери одиничного діаметра, що дотикається до площини в початку координат (рис. 6).

Нехай – вертикальний діаметр ( – південний, а – північний полюс). Для довільної скінченної точки комплексної площини точка перетину відрізка зі сферою називається стереографічною проекцією точки .

Така відповідність буде взаємно однозначною для всієї роз­ширеної комплексної площини, якщо прийняти, що північний полюс служить стереографічною проекцією єдиної нескін­ченно віддаленої точки .

Зауваження 4. Прямій чи колу на площині при стереографічній проекції відповідає коло на сфері. Зокрема, паралельним прямим відповідають кола, що дотикаються в нескінченно віддаленій точці .

2.2. Область та її межа

Непорожня множина комплексної площини чи розширеної комплексної площини називається областю, якщо виконуються такі умови: 1) вона відкрита, тобто разом з кожною своєю точкою містить деякий окіл цієї точки; 2) вона зв’язна, тобто будь-які дві її точки можна сполучити деякою ламаною , всі точки якої належать цій множині .

Зауваження 1. Ламана може бути необмеженою лінією, що проходить через . При цьому вона залишається обме­женою на сфері Рімана.

Точка називається межовою точкою області , якщо в кожному її околі містяться точки, що належать і що не належать цій області.

Множина всіх межових точок області називається межею цієї області.

Зауваження 2. Надалі розглядаються області, межа яких складається зі скінченного числа кусково-гладких кривих та ізольованих точок. Межа може мати дві сторони – два “берега” розрізу.

Якщо при русі вздовж межі область весь час залишається зліва, то такий напрям орієнтації межі називається до­датним обходом.

Об’єднання області з її межею , називається замкненою областю (замиканням області ) і позначається .

Якщо межу o6лacті утворює одна лінія, що не має само­перетину, то область називається однозв'язною (рис. 7), а коли межу o6лacті утворюють таких л1ній, що не мають самоперетину і спільних точок, то область називається -зв'язною (на рис. 8 зображена тризв’язна область).

Зауваження 3. Однозв’язна область – це область, в якій довільну замкнену криву, що їй належить, можна неперервною деформацією стягнути в точку, залишаючись в цій області . Однозв’язна область не містить “дірок”, а багатозв’язна область – це область з “дір­ками”.

2.3. Комплексні функції дійсної змінної.

Лінії на комплексній площині

Комплексна функція дійсної змінної кожному значен­ню з деякої непорожньої множини дійсних чисел за певним законом ставить у відповідність одне єдине значення комплексної змінної з деякої області комплексної площини. Комплексна функція дійсної змінної визначається рівністю

, ,

де та – задані дійсні функції (відповідно дійсна і уявна частини змінної ).

Зауваження 1. Надалі розглядаються неперервні функції та , задані на відрізку .

Функція , в комплексно-парамет­рич­ній формі задає деяку неперервну лінію (рис. 9). Парамет­ричні рівняння цієї лінії: , , .

 

Крива називається простою, якщо вона не має точок самоперетину: , тобто всі точки різні, крім, можливо, початкової і кінцевої .

Крива називається замкненою, якщо її початкова і кінцева точки співпадають: .

Орієнтацію (напрям обходу) замкненої кривої (контуру) можна задати трьома її точками або двома її точками і од­нією внутрішньою точкою області , що обмежена даною лінією .

Зауваження 2. Крива на комплексній площині може бути задана в неявній формі рівнянням .

Приклад 1. Визначити вид і зобразити на комплексній площині лінії, задані рівняннями:

а) ; б) ; в) .

Розв’язання. Щоб визначити вид лінії, підставимо в її рівняння і зведемо його до відповідного стандартного вигляду. Потім побудуємо цю лінію.

а) ; ;

; – коло

радіуса з центром у точці (рис.10).

б) ; – похила пряма, задана

в параметричній формі, її явне рівняння (рис.11).

в) ; – коло радіуса

з центром у початку координат, задане в параметричній формі (рис.12).

 

 

Приклад 2. На комплексній площині зобразити замкнену область , що задана нерівностями:

а) , ;

б) , .

Розв’язання. Якщо замінити знак нерівності на знак рівності, то одержується рівняння лінії – частини межі відповідної області. Кожна лінія розбиває комплексну площину на частини. Вибирається та частина, довільно взята внутрішня пробна точка якої задовольняє відповідну нерівність. Шукана область, задана системою нерівностей, знаходиться як перетин вибраних множин.

а) ; , – похила

пряма; – коло радіуса з центром у точці . Шукана область заштрихована на рис. 13.

б) ; – коло радіуса з центром

у початку координат; і – два промені, що виходять з початку координат. Шукана область заштрихована на рис. 14.

2.4. Диференціювання та інтегрування

комплексної функції дійсної змінної

Комплексній змінній відповідає вектор-функція, тому диференціювання та інтегрування комплексної функції дійс­ної змінної здійснюється аналогічно відповідним операціям над вектор-функцією дійсного аргументу.

Для знаходження похідної комплексної функції дійсної змінної треба продиференціювати окремо дійсну та уявну частини:

.

Зауваження 1. На комплексній площині дотична до кривої в точці задається в комплексно-парамет­рич­ній формі рівнянням .

Приклад 1. Знайти рівняння дотичної до комплексно-пара­мет­рично заданої лінії в точці , що відповідає указаному значенню параметра :

, .

Розв’язання.

;

;

;

– дотична.

Для знаходження інтеграла комплексної функції дійсної змінної треба проінтегрувати окремо дійс­ну та уявну частини:

.

Приклад 2. Знайти інтеграл:

.

Розв’язання.

.

 

 

3. Функції комплексної змінної. Похідна.

Поняття аналітичної функції. Конформне відображення

3.1. Поняття функції комплексної змінної.

Границя та неперервність

Для геометричного тлумачення поняття функції комплексної змінної розглядаються два екземпляри площини комплексних чисел: -площина і -площина .

Нехай на -площині задана довільна множина точок . Якщо кожній точці множини за певним законом поставлено у відповідність одну точку (або де­кіль­ка точок) -площини, то говорять, що на множині задано однозначну (або багатозначну) комплексну функцію комплексної змінної . називається множиною визначення функції , а множина усіх значень , що прий­має функція, називається множиною значень функції .

Зауваження 1. Множина може бути дуже складної та різ­номанітної структу­ри. Надалі розглядаються лише випадки, коли множини та є областями.

Комплексна функція – це відображення області -площини на область -площини (рис. 15). Якщо функція 123456789Следующая ⇒