Здавалка
Главная | Обратная связь

Степеневі ряди. Ряд Тейлора



Степеневим рядом з центром у точці називається функціональний ряд

,

де коефіцієнти ряду (комплексні числа).

Очевидно, що степеневий ряд завжди збігається в своєму центрі .

Теорема 1 (теорема Абеля). Якщо степеневий ряд збігається в деякій точці , то він абсолютно збігається в крузі радіуса з центром . Якщо степеневий ряд розбігається в деякій точці , то він розбігається поза кругом радіуса з центром .

За теоремою Абеля для степеневого ряду завжди існує так званий круг збіжності , всередині якого ряд збігається, зовні – розбігається, а на самому колі можуть бути як точки збіжності, так і розбіжності. Радіус цього круга називається радіусом збіжності.

Зауваження 1. Очевидно, . Якщо , то ряд збігається тільки в центрі . Якщо , то ряд збігається на всій комплексній площині.

Застосовуючи до ряду з модулів ознаку Даламбера чи радикальну ознаку Коші, радіус збіжності степеневого ряду можна знайти відповідно за формулами:

або .

Приклад 1. Знайти радіус збіжності степеневого ряду:

а) ; б) ; в) .

Розв’язання.

а)

.

б) .

в)

.

Теорема 2 (теорема Тейлора). Нехай функція – аналітична всередині круга радіуса з центром у точці . Тоді вона може бути подана у цьому крузі збіжним степеневим рядом Тейлора

; .

Причому цей ряд визначається однозначно.

Зауваження 2. Спираючись на наслідок 2 формули Коші, коефіцієнти ряду Тейлора можна подати у вигляді

,

де – довільний замкнений контур, що лежить в крузі і охоплює точку .

Зауваження 3. Якщо функція – аналітична в області і – внутрішня точка цієї області, то радіус збіжності ряду Тейлора не менший, ніж відстань точки до межі області (рис. 28). Таким чином, радіус збіжності ряду Тейлора дорівнює відстані від центра до найближ­чої до нього особливої точки функції .

Зауваження 4. Теорема Тейлора дозволяє дати еквівалентне означення аналітичної функції як функції, ряд Тейлора якої збігається до неї самої, що співпадає з прийнятим у дійсному аналізі.

Зауваження 5. Ряд Тейлора для функції в точці єдиний, тобто, якщо функція якимось чином подана рядом за степенями , то це і буде ряд Тейлора. Тому на практиці для розкладу функції в степеневий ряд використовують відомі розвинення елементарних функцій. Наведемо деякі з них:

; ; ;

;

.

Розвинення для експоненти, синуса і косинуса справедливі на всій комплексній площині. Радіус збіжності ряду для логарифму дорівнює 1. Радіус збіжності біноміального ряду залежить від показника степеня : при натуральному і при ненатуральному .

Приклад 2. Розкласти функцію в ряд Тейло­ра в околі точки і знайти радіус збіжності отриманого ряду.

Розв’язання. Подамо функцію у вигляді

.

Якщо , то другий доданок в останньому виразі можна розглядати як суму нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом і знаменником . Тоді

.

Отриманий ряд в силу однозначності розвинення і є шуканим рядом Тейлора. Радіус збіжності цього ряду визначається з умови . Тоді . Отже, .

Радіус збіжності можна знайти інакше як відстань від центра ряду до найближчої особливої точки функції (у даної функції особлива точка єдина).

Ряд Лорана

Розглянемо узагальнений степеневий ряд

,

де – коефіцієнти ряду;, – центр ряду.

Цей ряд містить як невід’ємні, так і від’ємні степені різниці . Ряд називається головною частиною, а ряд правильною частиною. Узагальнений степеневий ряд збігається, якщо одночасно збігаються його головна і правильна чистини. Правильна частина як звичайний степеневий ряд збігається всередині деякого круга з центром і радіусом . Якщо у головній частині зробити заміну , то отриманий звичайний степеневий ряд збігається всередині деякого круга з центром і радіусом . Нехай . Повертаючись до змінної , можна встановити, що головна частина збігається зовні круга з центром і радіусом .

Якщо області і мають непорожній переріз, то узагальнений степеневий ряд збігається у їх спільній частині – кільці (рис. 29). На межі кільця ряд може як збігатися, так і розбігатися.

Приклад 1. Знайти область збіж­ності узагальненого степеневого ряду

Розв’язання. Знайдемо область збіжності головної частини . Застосовуючи радикальну ознаку Коші до ряду з модулів, визначаємо радіус збіжності

.

Тобто, головна частина абсолютно збігається при . На колі цей ряд розбігається, оскільки для відповідного ряду не виконується необхідна ознака збіжності.

Знайдемо область збіжності правильної частини . Застосовуючи ознаку Даламбера до ряду з модулів, визначаємо радіус збіжності

.

Тобто, правильна частина абсолютно збігається при . На колі цей ряд теж абсолютно збігається, оскільки відповідний ряд з модулів є збіжним узагальненим гармонічним рядом. Тоді областю збіжності правильної частини служить замкнений круг .

Отже, областю збіжності початкового сумарного ряду служить спільна частина знайдених областей – кільце з центром .

Нехай функція аналітична в деякій області за винятком окремих особливих точок. Візьмемо довільну точку цієї області. Якщо точка – правильна, то функ­цію можна розвинути в ряд Тейлора, радіус збіжності якого дорівнює відстані від центра до найближчої особливої точки. Якщо точка – особлива, то функцію не можна розкласти в ряд Тейлора за степенями .

Проведемо концентричні кола з центром через кожну особливу точку області . Тоді всередині кожного кільця між сусідніми колами особливих точок не буде. Наступна теорема дає розв’язок задачі: розкласти функцію , що аналітична в кільці , в узагальнений степеневий ряд.

Теорема 1 (теорема Лорана). Нехай функція – аналітична в круговому кільці з центром у точці . Тоді вона може бути однозначно подана у цьому кільці збіжним узагальненим степеневим рядом Лорана

;

,

де – довільний замкнений контур, що охоплює внутрішнє коло і повністью лежить у кільці.

Зауваження 1. Збіжний в деякому кільці до функції ряд Лорана можна почленно диференціювати та інтегрувати. Отримані при цьому ряди збіжні у тому ж кільці.

Зауваження 2. Ряд Тейлора є окремим випадком ряду Лорана, коли в останньому відсутня головна частина ( , ).

Зауваження 3. Нехай функція аналітична в круговому кільці – в проколотому околі нескінченно віддаленої точки . Якщо перейти до нової змінної , то одержана функція аналітична в кільці – в проколотому околі точки . Розкладаючи функцію в ряд Лорана в околі точки і повертаючись до змінної , можна отримати ряд Лорана за степенями функції в околі нескінченно віддаленої точки :

; ,

де – головна частина; – правильна частина (зміст і назви частин ряду протилежні тим, що мають місце для ряду Лорана з центром у скінченній точці).

Зауваження 4. Нехай функція – аналітична в круговому кільці . Тоді коефіцієнти ряду Лорана задовольняють нерівності Коші

,

де , , , .

Приклад 2. Розкласти в ряд за степенями функцію

а) у крузі (в околі точки );

б) у кільці ;

в) у кільці (в околі нескінченно віддаленої точки ).

Розв’язання. Особливими точками даної функції є точки і (у цих точках знаменник дорівнює нулю). Тому існують три області з центром у правильній точці (рис. 30), де функція є аналітичною і може бути розвинена в ряд за степенями :

а) у крузі – в ряд Тейлора; б) у кільці – в ряд Лорана; в) у кільці – в ряд Лорана.

Оскільки дана функція є правильним раціональним дробом, то 1) розкладемо її на суму елементарних дробів; 2) у відповідній області кожен з доданків перетворимо до вигляду суми нескін­ченно спадної геометричної прогресії і перейдемо до відпо­відної прогресії; 3) підставляючи отримані розклади у вираз для функції , знайдемо шукане розвинення цієї функ­ції в ряд Лорана у відповідній області.

.

а) У крузі :

;

;

;

.

б) У кільці :

(для першого доданку використовуємо знайдене в пункті а) розвинення);

;

;

.

в) У кільці :

.

Для другого і третього доданків використовуємо знайдені в пункті б) розвинення:

;

.

Тоді

.

Приклад 3. Розкласти в ряд Лорана функцію

в (проколотому) околі точки .

Розв’язання. Особливими точками даної функції є точки і (див. попередній прикл. 2). Тому існують дві області з центром в особливій точці (рис. 31), де функція є аналітичною і може бути розвинена в ряд за степенями різниці :

а) у кільці (у проколотому околі точки ) – в ряд Лорана;

б) у кільці – в ряд Лорана.

У поставленій задачі розглядається (проколотий) окіл точки . Радіус визначається як від­стань від центра до найближчої особливої точки (в даному випадку обидві особливі точки розміщені на однаковій відстані від точки ).

Розкладемо функцію на суму елементарних дробів (див. попередній прикл. 2):

.

Перший доданок виражений через степінь різниці , тобто має потрібний вигляд. Другий і третій доданки перетворимо до вигляду суми нескін­ченно спадної геометричної прогресії відносно різниці і перейдемо до відпо­відної прогресії. Підставляючи отримані розклади у вираз для функції , знайдемо розвинення цієї функції в ряд Лорана в (проколотому) околі точки :

;

;

.

6.4. Ізольовані особливі точки та їх класифікація

Точка називається ізольованою особливою точкою функції , якщо дана функція аналітична в деякому околі цієї точки, за винятком самої точки (в проколотому околі).

Класифікація ізольованих особливих точок здійснюється за характером розвинення функції в ряд Лорана

;

в (проколотому) околі особливої точки . При цьому можливі три випадки:

а) Головна частина ряду Лорана відсутня (в ряді не має чле­нів з від’ємними степенями різниці ), тобто

.

Тоді називається усувною особливою точкою.

При цьому , тобто в усувній особливій точці функція має скінченну границю.

Якщо доозначити функцію в точці рівністю , то функція стане аналітичною в точці , а відповідний ряд буде рядом Тейлора для функції . Оскільки , то в околі усувної особливої точки функція обмежена.

б) Головна частина ряду Лорана членів, тобто

.

Тоді називається полюсом -го порядку. Полюс першого порядку також називають простим полюсом.

Ясно, що коли точка – полюс -го порядку функції , то для функції ця точка є усувною особливою. Тоді . Тому

,

тобто в полюсі функція має нескінченну границю. Порядком полюса служить найбільше натуральне значення , при якому існує скінченна границя .

Якщо точка – полюс -го порядку функції , то для функції ця точка служить -кратним коренем. Справедливе також обернене твердження.

в) Головна частина ряду Лорана має нескінченну кількість членів, тобто

.

Тоді називається істотно особливою точкою.

В істотно особливій точці функція не має границі ні скінченної, ні нескінченної. У залежності від вибору шляху прямування точки до точки функція буде мати різні границі.

Нескінченно віддалена точка. Особлива точка на­зивається ізольованою особливою точкою, якщо функція аналітична в круговому кільці (зовні кола ) – в проколотому околі нескінченно віддаленої точки . Функція в околі нескінченно віддаленої точки розвивається в ряд Лорана за степенями :

.

(зміст і назви частин ряду протилежні тим, що мають місце для ряду Лорана з центром у скінченній точці).

Ізольована особлива точка називається: а) усув­ною особливою точкою, якщо ряд Лорана не містить додатних степенів ; б) полюсом -го порядку, якщо найбільша додатна степінь в ряді Лорана дорівнює ; в) істотно особливою точкою, якщо ряд Лорана має нескінченну кількість додатних членів.

Наприклад, для функції точка – полюс -го порядку, а для функції точка – істотно особлива.

Приклад. Знайти всі особливі точки функції та визначити їх характер:

.

Розв’язання. Знайдемо точки, де функція не визначена: , , , , , . Дослідимо поведінку функції в околі кожної з цих точок.

:

;

– усувна особлива точка.

: ;

; – полюс другого порядку.

: ;

;

– простий полюс.

: ;

;

– простий полюс.

: – не

існує, оскільки не існує ;

– істотно особлива точка.

: – не

існує, оскільки не існує ;

– істотно особлива точка.

Зауваження. Особливі точки можуть бути неізольованими. Наприклад, функція має полюси . Тому в довільному околі особливої точки є інші особливі точки. Початок координат є точкою згущення полюсів цієї функції.

 

7. Лишки та їх застосування

7.1. Поняття лишку. Основна теорема про лишки

Нехай – ізольована особлива точка функції , а – довільний контур, що охоплює цю єдину особливу точку і повністю лежить в області аналітичності даної функції (всередині контуру, окрім точки , і на самому контурі функція аналітична). Лишком функції в ізольованій особливій точці називається комплексне число

,

де обхід контуру здійснюється проти годинникової стрілки.

Інтегруючи почленно ряд Лорана, можна одержати:

а) – у скінченній точці .

Тобто лишок функції в скінченній ізольованій особливій точці дорівнює коефіцієнту при мінус першій степені в розвиненні даної функції в ряд Лорана в околі цієї точки.

б) – у нескінченно віддаленій точці , оскільки додатному обходу для цієї точки відповідає рух за годинниковою стрілкою.

Тобто лишок функції в нескінченно віддаленій ізольованій особливій точці дорівнює мінус коефіцієнту при мінус першій степені в розвиненні даної функції в ряд Лорана в околі цієї точки.

Зауваження 1. З означення лишку випливає, що лишок функції в скінченній правильній чи усувній особливій точці дорівнює нулю (ряд Лорана не містить від’ємних степенів).

Зауваження 2. Лишок функції в нескінченно віддаленій точці може бути відмінним від нуля й у випадку, коли дана функція має скінченну границю в цій точці , і навіть при її аналітичності в . При цьому

.

Якщо – простий полюс функції , то

.

Зауваження 3. Якщо функція має вигляд дробу , і – простий полюс цієї функції , то

.

Якщо – полюс -го порядку функції , то

.

Зауваження 4. Якщо – істотно особлива точка, то для знаходження лишку слід безпосередньо скористатися розвиненням функції в ряд Лорана і виділити коефіцієнт .

Теорема 1 (основна теорема про лишки).

Нехай функція аналітична в області з межею за винятком скінчен­ного числа внутрішніх ізольованих особливих точок і неперервна на межі . Тоді інтеграл по контуру дорівнює сумі лишків у всіх внутрішніх ізольованих особливих точках

,

де обхід межі здійснюється в додатному напрямі.

Доведення. Охопимо кожну особливу точку окремим колом так, щоб ці кола не перетиналися одне з одним і з межею . В одержаній багатозв’язній області, що обмежена контурами , , , , функція буде аналітичною. За теоремою Коші (для складеного контуру) справедливо

.

Наслідок 1. Якщо функція аналітична в комплексній площині за винятком скінчен­ного числа ізольованих особливих точок , то сума всіх лишків, включаючи лишок у нескінченно віддаленій точці, дорівнює нулю

.

Наслідок 2. Нехай функція аналітична в комплексній площині. Якщо всередині області з межею знаходяться ізольовані особливі точки , а зовні неї – ізольовані особливі точки , причому , тоді інтеграл по контуру дорівнює взятій з протилежним знаком сумі лишків у всіх зовнішніх ізольованих особливих точках

.

Зауваження 5. Наведені в цьому пункті формули одержані в припущенні, що на контурах інтегрування немає особливих точок.

Приклад. Обчислити вказані лишки:

а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

Розв’язання.

а) Для функції точка – усувна особлива, оскільки

.

Тому .

б) Для функції точка – простий полюс, оскільки

;

.

Тому .

в) Для функції точка – полюс другого порядку, оскільки

;

.

Тому

.

г) Для функції точка – істотно особлива, оскільки не існує ні скінченної, ні нескінченної границі . Знайдемо ряд Лорана:

; ;

.

Тому .

д) Для функції точка – істотно особлива, оскільки не існує ні скінченної, ні нескінченної границі . Знайдемо ряд Лорана:

;

.

Тому

.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.