 |
|
Логарифмічна похідна та її лишки. Принцип аргументу
Похідна логарифму функції 
називається логарифмічною похідною
.
Логарифмічним лишком функції називається лишок її логарифмічної похідної.
Розвиваючи логарифмічну похідну в ряд Лорана в околі кореня 
функції , можна отримати, що 
-кратний корінь функції також служить простим полюсом її логарифмічної похідної, причому
.
Розвиваючи логарифмічну похідну в ряд Лорана в околі полюса функції , можна отримати, що полюс 
-го порядку функції служить простим полюсом її логарифмічної похідної, причому
.
Теорема (Принцип аргументу). Нехай 
‑ обмежена однозв’язна область, 
‑ її межа, а функція аналітична в замкненій області 
за винятком скінченного числа 
полюсів, причому на межі немає ні коренів, ні полюсів цієї функції. Тоді приріст аргументу функції 
при однократному обході межі області в додатному напрямі дорівнює добутку числа 
на різницю числа коренів 
і полюсів функції , причому кожний корінь рахується стільки разів, яка його кратність, а полюс – стільки разів, який його порядок:
.
Зауваження 1. Число коренів скінченне, інакше функція тотожно дорівнювала б нулю. Число полюсів скінченне, інакше функція мала б неізольовану особливість.
Зауваження 2. Аргумент функції визначається неоднозначно, але його приріст на кривій знаходиться однозначно при будь-якому фіксованому початковому (зокрема, головному) значенні аргументу.
8. Фазові криві диференціальних рівнянь
8.1. Лінійне однорідне диференціальне рівняння
зі сталим комплексним коефіцієнтом і його розв’язок
Лінійне однорідне диференціальне рівняння зі сталим комплексним коефіцієнтом має вигляд
,
де 
– сталий коефіцієнт (комплексне число); 
– шукана комплексна функція дійсного аргументу 
.
Відокремлюючи змінні, можна знайти його загальний розв’язок
,
де 
– довільна комплексна стала.
Як і в дійсному випадку, розв’язком рівняння служить експонента (при 
) – єдина відмінна від тотожного нуля функція, в якої похідна пропорційна їй самій, а також тотожний нуль (при 
). Інших розв’язків рівняння не має.
Зауваження. Рівняння можна розв’язати інакше, якщо виділити дійсну та уявну частини і перейти до рівносильної системи двох дійсних рівнянь:
; 
; 
.