Здавалка
Главная | Обратная связь

Диференціального рівняння



Інтегральними кривими даного диференціального рівнян­ня служать графіки його загального розв’язку в тривимірному просторі , утвореному незалежною змінною і двома залежними змінними і . Інтеграль­ні криві утворюють однопараметричну сім’ю ліній. Кожна інтегральна крива цієї сім’ї є графіком частинного розв’язку, що відповідає конкретному значенню довільної сталої – парамет­ра.

Проекція інтегральної кривої на площину залежних змінних (комплексну площину) називається фазовою кривою.

Зауваження. Різні фазові криві, як і відповідні інтегральні криві, ніколи не перетинаються.

Розглянемо фазові криві на комплексній площині, де задано декартову і полярну системи координат з полюсом у початку декартової системи координат і полярною віссю, суміщеною з віссю .

При довільному значенні коефіцієнта рівняння завжди має сталий (нерухомий) розв’язок – по­люс (при нульовому значенні довільної сталої – початкової точки ).

Нехай тепер довільна стала (початкова точка) відмінна від нуля . Подамо її, а також ненульовий експоненціальний розв’язок у показниковій формі:

; .

Тоді

;

; .

а) Якщо коефіцієнт – дійсне число, тобто , тоді для ненульового розв’язку полярний кут залишається сталим , а полярний радіус . Таким чином, при зміні відбувається переміщення від початкової точки по променю : вбік віддалення від полюса при чи вбік наближення до полюса при (рис. 34). Такий вигляд картини фазових кривих називається нестійким (при ) чи стійким (при ) вузлом.

б) Якщо коефіцієнт – чисто уявне число, тобто , , тоді для ненульового розв’язку полярний радіус залишається сталим , а полярний кут . Таким чином, при зміні відбувається обертання від початкової точки по колу з центром у полюсі: проти годинникової стрілки при чи за годинниковою стрілкою при (рис. 35). Такий вигляд картини фазових кривих нази­вається центром.

 
 

 
 

в) Якщо в коефіцієнті відмінні від нуля як дійсна , так і уявна частини, тоді для ненульового роз­в’язку змінюються як полярний кут , так і полярний радіус . Таким чином, при зміні відбувається на­кладання обертального руху навколо полюса з віддаленням чи наближенням до полюса, починаючи від початкової точки : проти годинникової стрілки при чи за годинниковою стрілкою при (рис. 36). Фазовими кривими служать логарифмічні спіралі. Такий вигляд картини фазових кри­вих на­зивається нестійким (при ) чи стійким (при ) фокусом.

 

 
 

9. Плоске векторне поле. Комплексний потенціал

9.1. Спеціальні плоскі векторні поля.

Комплексний потенціал

Нехай в деякій області координатної площини за­дано плоске векторне поле, що визначається вектор-функ­цією

,

де функції і – неперервні разом зі своїми частинними похідними в області за винятком, можливо, окремих точок.

Нехай – деяка орієнтована крива в області , а і – одиничні вектори відповідно дотичної та зовнішньої нормалі (рис. 37). .

Плоске векторне поле характеризується:

дивергенцією

і ротором

.

Поле, в якому відсутні джерела і витоки, називається соленоїдальним (трубчатим).

Критерієм соленоїдальності є рівність нулю дивергенції або, що еквівалентно, рівність нулю потоку поля через довільний замкнений контур. Для потоку соленоїдального поля через довільну (можливо, незамкнену) кри­ву можна одержати

.

Тобто, для соленоїдального поля існує функція потоку (силова функція) , що визначається умовами

; .

Поле, в якому відсутні вихори, називається потенціаль­ним (безвихорним).

Критерієм потенціальності є рівність нулю ротора або, що еквівалентно, рівність нулю циркуляції поля по довільному замкненому контуру. Для циркуляції потенціального поля по довільній (можливо, незамкненій) кривій можна одержати

.

Тобто, для потенціального поля існує потенціальна функція (потенціал) , що визначається умовами

; .

Поле називається гармонічним, якщо воно одночасно є соленоїдальним і потенціальним.

Для гармонічного поля існують як потенціал , так і функція потоку . З наведених співвідношень випливає, що ці функції і зв’язані умовами Коші – Рімана

; .

Отже, ці функції є спряженими гармонічними і складають комплексний потенціал

.

Вектор-функ­цію гармонічного поля можна подати в комплексній формі

.

Комплексна вектор-функ­ція зв’язана з похідною комплексного потенціалу операцією спряження:

; .

Зауваження. Комплексний потенціал, як функція точки, може бути виражений у вигляді інтеграла вздовж кривої з фіксованим початком

.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.