Диференціального рівняння
Інтегральними кривими даного диференціального рівняння служать графіки його загального розв’язку в тривимірному просторі , утвореному незалежною змінною і двома залежними змінними і . Інтегральні криві утворюють однопараметричну сім’ю ліній. Кожна інтегральна крива цієї сім’ї є графіком частинного розв’язку, що відповідає конкретному значенню довільної сталої – параметра. Проекція інтегральної кривої на площину залежних змінних (комплексну площину) називається фазовою кривою. Зауваження. Різні фазові криві, як і відповідні інтегральні криві, ніколи не перетинаються. Розглянемо фазові криві на комплексній площині, де задано декартову і полярну системи координат з полюсом у початку декартової системи координат і полярною віссю, суміщеною з віссю . При довільному значенні коефіцієнта рівняння завжди має сталий (нерухомий) розв’язок – полюс (при нульовому значенні довільної сталої – початкової точки ). Нехай тепер довільна стала (початкова точка) відмінна від нуля . Подамо її, а також ненульовий експоненціальний розв’язок у показниковій формі: ; . Тоді ; ; . а) Якщо коефіцієнт – дійсне число, тобто , тоді для ненульового розв’язку полярний кут залишається сталим , а полярний радіус . Таким чином, при зміні відбувається переміщення від початкової точки по променю : вбік віддалення від полюса при чи вбік наближення до полюса при (рис. 34). Такий вигляд картини фазових кривих називається нестійким (при ) чи стійким (при ) вузлом. б) Якщо коефіцієнт – чисто уявне число, тобто , , тоді для ненульового розв’язку полярний радіус залишається сталим , а полярний кут . Таким чином, при зміні відбувається обертання від початкової точки по колу з центром у полюсі: проти годинникової стрілки при чи за годинниковою стрілкою при (рис. 35). Такий вигляд картини фазових кривих називається центром. в) Якщо в коефіцієнті відмінні від нуля як дійсна , так і уявна частини, тоді для ненульового розв’язку змінюються як полярний кут , так і полярний радіус . Таким чином, при зміні відбувається накладання обертального руху навколо полюса з віддаленням чи наближенням до полюса, починаючи від початкової точки : проти годинникової стрілки при чи за годинниковою стрілкою при (рис. 36). Фазовими кривими служать логарифмічні спіралі. Такий вигляд картини фазових кривих називається нестійким (при ) чи стійким (при ) фокусом.
9. Плоске векторне поле. Комплексний потенціал 9.1. Спеціальні плоскі векторні поля. Комплексний потенціал Нехай в деякій області координатної площини задано плоске векторне поле, що визначається вектор-функцією , де функції і – неперервні разом зі своїми частинними похідними в області за винятком, можливо, окремих точок. Нехай – деяка орієнтована крива в області , а і – одиничні вектори відповідно дотичної та зовнішньої нормалі (рис. 37). . Плоске векторне поле характеризується: дивергенцією
і ротором . Поле, в якому відсутні джерела і витоки, називається соленоїдальним (трубчатим). Критерієм соленоїдальності є рівність нулю дивергенції або, що еквівалентно, рівність нулю потоку поля через довільний замкнений контур. Для потоку соленоїдального поля через довільну (можливо, незамкнену) криву можна одержати . Тобто, для соленоїдального поля існує функція потоку (силова функція) , що визначається умовами ; . Поле, в якому відсутні вихори, називається потенціальним (безвихорним). Критерієм потенціальності є рівність нулю ротора або, що еквівалентно, рівність нулю циркуляції поля по довільному замкненому контуру. Для циркуляції потенціального поля по довільній (можливо, незамкненій) кривій можна одержати . Тобто, для потенціального поля існує потенціальна функція (потенціал) , що визначається умовами ; . Поле називається гармонічним, якщо воно одночасно є соленоїдальним і потенціальним. Для гармонічного поля існують як потенціал , так і функція потоку . З наведених співвідношень випливає, що ці функції і зв’язані умовами Коші – Рімана ; . Отже, ці функції є спряженими гармонічними і складають комплексний потенціал . Вектор-функцію гармонічного поля можна подати в комплексній формі . Комплексна вектор-функція зв’язана з похідною комплексного потенціалу операцією спряження: ; . Зауваження. Комплексний потенціал, як функція точки, може бути виражений у вигляді інтеграла вздовж кривої з фіксованим початком . ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|