Главная | Обратная связь

Лабораторная работа №6

 

Имеется неизвестная функция двух переменных, которая задана 1000-ю значениями на интервале [0,10]х[0,10]. Предполагается, что точки, в которых заданы значения функции, распределены в указанном квадрате случайно.

Требуется построить математическую модель, которая описывает связь значений функции и значений независимых переменных.

Структура данных

Файл данных состоит из трех переменных: х, у, z. Переменные х и у - не­зависимые, переменная z - зависимая (рис. 1).

Построение модели

В классическом подходе к решению задачи на первом шаге строится мо­дель множественной регрессии. Очевидно, что зависимость нелинейная и все линейные модели будут давать «плохие» результаты. В STATISTICA имеется модуль нелинейной множественной регрессии, который позволяет автоматиче­ски включать в модель не только сами переменные, но и различные (но уже не­линейные) преобразования от них (т.е. х2, х3, ех и т.д.). В данном примере мы вначале построим модель с помощью Множественной нелинейной регрессии, а затем перейдем построению нейросетевой модели для данной задачи.

 

Рис. 1. Фрагмент исходной таблицы данных

Шаг 1. Запускаем модуль Множественная нелинейная регрессия (рис. 2).

Рис. 2. Запуск модуля Множественная нелинейная регрессия

 

На стартовом окне нажимаем кнопку Переменные и переходим к заданию переменных (рис. 3.).

Рис. 3. Диалог выбора переменных

На данном этапе не требуется указания зависимых или независи­мых переменных, а нужно просто указать те переменные, кото­рые вместе со своими преобразованиями будут входить в модель. Максимальное число переменных, включаемых в модель в дан­ном случае, равняется 4. Нажимаем ОК и возвращаемся к старто­вому окну (рис. 4).

Прокомментируем остальные установки на данном окне: 1. При выборе опции Вычисления с повышенной точностью ис­пользуется более точный алгоритм вычисления корреляционной матрицы, необходимой при проведении множественной регрессии.

Рис. 4. Стартовое окно

 

Эту опцию следует установить, если анализируемые переменные имеют чрезвычайно малую относительную дисперсию. Выполняемые в процессе фиксированной нелинейной регрессии вычисления с двойной точностью оптимальны в смысле достиже­ния максимальной точности, так что почти для всех наборов дан­ных, полученных с помощью реальных измерений (т.е. не создан­ных искусственно), результаты этих вычислений идентичны ре­зультатам, полученным с использованием опции повышенной точности вычислений. Обратите внимание, что эта опция доступ­на только после выбора опции Построчное удаление пропущен­ных данных.

2. Опция Показывать описательные статистики, корреляци­онные матрицы позволяет открыть диалоговое окно Просмотр описательных статистик после диалогового окна Регрессия с нелинейными компонентами.

В диалоговом окне Просмотр описательных статистик вы можете просмотреть подробные описательные статистики для вы­бранных переменных. Чтобы продолжить анализ и открыть диало­говое окно Определение модели, нажмите (Ж в диалоговом окне Просмотр описательных статистик.

На следующей вкладке можно сделать установки по преобразова­ниям зависимых и независимых переменных (рис. 5). Для каждой выбранной переменной создаются (в оперативной па­мяти компьютера, а не в исходном файле данных) новые времен­ные переменные, содержащие результаты соответствующих пре­образований (новая переменная будет создана для каждого вы­бранного преобразования по каждой выбранной переменной).

Рис. 5. Задание нелинейных функций преобразований

 

Имя новой переменной будет являться комбинацией номера со­ответствующей исходной переменной и выбранного преобразо­вания, например, V42, 10V7, и т.д.

Доступные преобразования показаны на рис. 5. Вы можете выбрать более чем одно преобразование. Укажем все возможные преобразования и перейдем на следующее окно.

Шаг 2. Задание параметров анализа удобно производить на вкладке Дополнительно окна Определение модели (рис. 6).

Рис. 6. Окно Определение модели, вкладка Дополнительно

 

При нажатии кнопки Переменные вызывается стандартное диа­логовое окно Выбор переменных, в котором можно выбрать за­висимые и независимые переменные. Если указано более одной зависимой переменной, то регрессионный анализ выполняется последовательно для каждой переменной из списка зависимых переменных.

С помощью опции Процедура можно выбрать тип регрессионно­го анализа. Если выбрана Стандартная процедура, то все пере­менные будут включены в уравнение регрессии одним блоком (т.е. на одном шаге итерации).

Если выбрана процедура Пошаговая с включением, то независи­мые переменные будут по отдельности включаться или исклю­чаться из модели на каждом шаге регрессии (если выбрано F -включить или F- исключить) до тех пор, пока не будет получена «наилучшая» регрессионная модель.

В случае процедуры Пошаговой с исключением независимые пе­ременные будут исключаться из модели по одной на каждом шаге (если выбрано F- включить или F- исключить) до тех пор, пока не будет получена «наилучшая» регрессионная модель. В качестве зависимой переменной укажем переменную г. Неза­висимыми переменными в данном случае являются переменные х иуи переменные, полученные путем выбранных на предыдущем окне преобразований. В качестве процедуры выбираем Пошаговая с включением. Нажимаем ОК.

Шаг 3. Переходим к анализу результатов, полученных с помощью дан­ной модели (рис. 7).

 

Рис. 7. Окно результатов

Хотя коэффициенты регрессии оказались на высоком уровне зна­чимости, но коэффициент множественной регрессии ничтожно мал (R = 0,25). Например, при х = 1,48, у = 9,0 предсказанное зна­чение равно 0,31. Построим модель с помощью нейронных сетей.

Шаг 4. Запускаем Нейронные сети (рис. 8.).

На стартовом окне указываем тип задачи Регрессия. Далее пере­ходим к выбору непрерывных входных и выходных переменных (нажимая кнопку ГГ). Диалог выбора переменных с установками показан на рис. 9.

Рис. 8. Запуск модуля Нейронные сети

Рис. 9. Диалог выбора переменных

 

В качестве инструмента выбираем Мастер решений (это уста­новка по умолчанию). Стартовое окно с описанными установка­ми показано на рис. 10. Нажимаем ОК.

Шаг 5. Далее необходимо определиться с типом сети. Как известно, мно­гослойный персептрон моделирует функцию отклика с помощью функций «сигмоидных склонов». Метод разбиения пространства гиперплоскостями представляется естественным и интуитивно понятным, ибо он использует фундаментальное простое понятие прямой линии.

 

Рис. 10. Стартовое окно с проделанными установками

 

Столь же естественным является подход, основанный на разбие­нии пространства окружностями или (в общем случае) гиперс­ферами. Гиперсфера задается своим центром и радиусом. Подобно тому, как элемент многослойный персептрон реагиру­ет (нелинейно) на расстояние от данной точки до линии «сигмоидного склона», в сети, построенной на радиальных базисных функциях, элемент реагирует (нелинейно) на расстояние от дан­ной точки до «центра», соответствующего этому радиальному элементу.

Поверхность отклика радиального элемента представляет собой гауссову функцию (колоколообразной формы) с вершиной в центре и понижением по краям. Наклон гауссова радиального элемента можно менять подобно тому, как можно менять наклон сигмоидной кривой в многослойный персептрон (рис. 11).

Рис. 11. Поверхность отклика радиального элемента

 

Очевидно, что наша задача топологически близка именно к архи­тектуре сетей, основанных на РБФ. Поэтому на вкладке Тип сети выбираем пункт Радиальная базисная функция (рис. 12.). Длительность анализа: установим N сетей =100 (вкладка Быстрый). Нажимаем ОК. (рис. 13.).

 

Рис. 12. Окно задания установок Мастера решений, вкладка Тип сети

 

Рис. 13. Окно задания установок Мастери решений, вкладка Быстрый

 

Шаг 6. Проанализируем результаты (рис. 14).

По мере увеличения числа элементов на скрытом слое сети растет точность результатов. Заметим, что ни для одной модели не получено эффекта «зазубривания данных» (т.е. все модели обладают способностью обобщать результат на новые наблюдения). С помощью опции Выбор модели исключим все, кроме пятой сети. Построим график наблюдаемых и предсказанных значений. Для этого переходим на вкладку Графики н по оси X выбирай Наблюдаемые, а по оси Y- Предсказанные (рис. 15).

Рис. 14. Окно результатов анализа, вкладка Дополнительно

Рис. 15. Окно результатов анализа, вкладка Графики

 

Строим зависимость Yот X.

Перейдем на вкладку Быстрый окна результатов модели и на­жмем кнопку Описательные статистики (рис. 16). На экране появится таблица (рис. 8.6.19).

Рис. 16. Окно результатов анализа, вкладка Быстрый

Рис. 17 Таблица описательных статистик

 

Как показано на рис. 16, в поле Выборки вывода результатов был выбран пункт Все. Теперь на той же вкладке укажем пункт Все*. Это позволит получить таблицу результатов по всем выбор­кам в отдельности. Результаты показаны на рис. 18.

Видно, что параметр Отношение ст.откл. однороден по всем выборкам.

 

Рис. 18. Таблица описательных статистик для всех выборок но отдельности

 

 

В заключение приведем граф построенной нейронной сети архи­тектуры РБФ (рис. 19).

 

Рис. 19. Схема построенной сети

Сеть имеет структуру прямого распространения с двумя входными пере­менными, 540 элементами на скрытом слое и одним элементом на выходном слое. Точность построенной модели равна 0,7%.