 |
|
Понятие о квантовой статистике Бозе-Эйнштейна.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ
Квантовая статистика– раздел статистической физики, исследующей системы, которые состоят из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики. Принципиальное отличие квантовой статистики от классической заключается в том, что она основана на принципе неразличимоститождественных частиц. В классической же статистике тождественные частицы различимы (частицу можно отличить от всех таких же частиц).
Квантовая статистика Бозе-Эйнштейна, применяемая к системам частиц с нулевым или целочисленным спином, называемых бозонами, предложена в 1924 году индийским физиком Бозе для квантов света и развита в том же 1924 году А.Эйнштейном в применении к молекулам идеальных газов. В квантовой механике состояние системы частиц описывается волновой функцией, которая для бозонов симметрична относительно перестановки любой пары тождественных частиц (совокупности их координат). Числа заполненияквантовых состояний при таких волновых функциях ничем не ограничены, т.е. в одном и том же состоянии может находиться любое число одинаковых частиц. Для идеального газа тождественных частиц средние значения чисел заполнения определяются распределением Бозе-Эйнштейна:
, (20.1)
где 
– среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией Еi, k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура, µ – постоянная, которая носит название химического потенциалаи определяется из условия, что сумма всех должна быть равна полному числу N частиц в системе, т.е. 
.
Если Еi>>m, то распределение (20.1), как и должно быть согласно принципу соответствия, переходит в классическое распределение Максвелла:
. (20.2)
Фотонный и фононный газы.
Известно, что электромагнитное излучение, заполняющее какую-либо полость, можно представить как совокупность движущихся в ней фотонов (фотонный газ). Поскольку, как уже упоминалось, фотоны обладают спином, равным 1 (т.е. являются бозонами), фотонный газ подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна, из которой для распределения фотонов по энергиям (или для излучательной способности) вытекает известная формула Планка.
Рассмотрим теперь, казалось бы, совершенно отличную задачу о колебаниях кристаллической решётки. Если в каком-то месте деформировать кристалл, в нём начинают распространяться волны деформации, т.е. звуковые волны. Произвольная звуковая волна может быть разложена на совокупность гармонических волн с определёнными значениями частоты w и волнового числа k.
Квантовомеханический расчёт показывает, что и в этом случае волна может обмениваться с кристаллом лишь порциями энергии, равными DЕ = ћw. Это означает, что формально мы можем представить звуковую волну в кристалле в виде совокупности частиц – носителей энергии и импульса волны, для которых выполняются соотношения де Бройля Е = ћw; р = ћk.
Распространение звуковой волны будет в этом случае описываться движением таких частиц – фононов. Все процессы рассеяния и поглощения звуковых волн могут рассматриваться, как процессы рассеяния и поглощения фононов, ведущих себя как газ частиц со спином, равным 1, и, следовательно, подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна. Однако, в отличие от фотонов, которые являются истинными частицами и могут существовать в свободном состоянии, фононы представляют собой способ описания звуковых волн, и естественно, нельзя говорить об их самостоятельном существовании вне кристалла. Фононы являются примером широко распространенного в настоящее время способа представления волновых процессов в виде совокупности соответствующих квазичастиц(«вроде частиц»).