Табличные производные

Стр 1 из 2Следующая ⇒

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Элементы высшей математики»

Лекция 7. Производная и дифференциал функции

Вопросы для изучения:

1. Определения. Геометрический и физический смысл.

2. Табличные производные.

3. Производная сложной функции.

4. Логарифмическое дифференцирование.

Определения. Геометрический и физический смысл

Приращением функции у=f(x) в интервале Dх называется разность Dу=f(х+Dх)-f(x). Если Dу>0, то функция на интервале возрастает; при Dу<0 - убывает; при Dу=0 – не изменяется.

Предел отношения приращения функции Dу к приращению аргумента Dх при стремлении Dх к нулю называется производной функции:

Другие, эквивалентные, обозначения:

Геометрический смысл производной тесно связан с понятием касательной.

Проведем через точку М секущую ММ₁. Если точку М₁устремить к М, т.е. уменьшать х до нуля, то в момент слияния точек М и М₁ угол перейдет в угол

Следовательно, производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

С физической точки зрения производная - скорость изменения функции в данной точке.

Если функция имеет единственную производную в точке, она называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала a,называется дифференцируемой в данном интервале.

Табличные производные

С помощью определения можно вычислять производные функций. Пример:

y= f(x)=x²f(x+x)=( x+x)²=x²+2xx+(x)² y=
f(x+x) - f(x)=2xx+(x)².

Отсюда и

Совершенно аналогично можно получить и производные любых других функций. На этой основе разработана и постоянно используется стандартная таблица производных:

	у=С	_С– постоянное (число)
	у=x^a	aR
	у=sin x
	у=cos x
	у=tg x
	у=ctg x
	у=a^x
	у=e^x
	у=log_ax
	у=ln x
	у=arcsin x
	у= arccos x
	у=arctg x
	у=arcctg x